4.设修理某种机器所用的时间X（单位：h）服从参数为λ=0.5的指数分布，求机器出现故障时，在1h内可以修好的概率.
题目解答
答案
设修理时间 $X$ 服从参数为 $\lambda = 0.5$ 的指数分布，其概率密度函数为 $f(x) = 0.5e^{-0.5x}$（$x > 0$）。
求在1小时内修好的概率，即 $P(X < 1)$：
$P(X < 1) = \int_{0}^{1} 0.5e^{-0.5x} \, dx$
令 $u = -0.5x$，则 $du = -0.5dx$，积分限变为 $0$ 到 $-0.5$：
$P(X < 1) = \int_{0}^{-0.5} e^u \, (-du) = \int_{-0.5}^{0} e^u \, du = e^u \bigg|_{-0.5}^{0} = 1 - e^{-0.5}$
或者，使用指数分布的累积分布函数 $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$：
$P(X < 1) = F(1) = 1 - e^{-0.5}$
答案： $\boxed{1 - e^{-0.5}}$
解析
本题考查指数分布的概率计算。解题思路是先明确指数分布的概率密度函数，然后根据要求计算在$1h$内修好的概率，即计算$P(X < 1)$，通过积分运算得出结果。
设修理时间$X$服从参数为$\lambda = 0.5$的指数分布，其概率密度函数为$f(x) = 0.5e^{-0.5x}$（$x > 0$）。
求在$1$小时内修好的概率，即$P(X < 1)$：
$P(X < 1) = \int_{0}^{1} 0.5e^{-0.5x} \, dx$
令$u = -0.5x$，则$du = -0.5dx$，积分限变为$0$到$-0.5$：
$P(X < 1) = \int_{0}^{-0.5} e^u \, (-du) = \int_{-0.5}^{0} e^u \, du = e^u \bigg|_{-0.5}^{0} = 1 - e^{-0.5}$
或者，使用指数分布的累积分布函数$F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$：
$P(X < 1) = F(1) = 1 - e^{-0.5}$