题目
9.32 一圆台的锥顶张角为2θ,上底半-|||-径为R1,下底半径为R2,如图所示。它的侧-|||-面均匀带电,其电荷面密度为σ。求顶点O ()-|||-的电势。-|||-R, R-|||-20 C=0 ()
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定圆台侧面的电荷分布
圆台侧面均匀带电，电荷面密度为σ。侧面的电荷分布可以看作是由一系列同心圆环组成，每个圆环的半径从R1变化到R2，圆环的宽度为dr。
步骤 2：计算每个圆环在顶点O处产生的电势
每个圆环在顶点O处产生的电势可以使用点电荷的电势公式计算。对于半径为r的圆环，其在顶点O处产生的电势为：
\[ dV = \frac{\sigma \cdot 2\pi r \cdot dr}{4\pi \varepsilon_0 \cdot r} = \frac{\sigma \cdot dr}{2\varepsilon_0} \]
其中，2πrdr是圆环的面积，r是圆环到顶点O的距离。
步骤 3：积分求解总电势
将所有圆环在顶点O处产生的电势进行积分，得到总电势：
\[ V = \int_{R_1}^{R_2} \frac{\sigma \cdot dr}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \int_{R_1}^{R_2} dr = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} (R_2 - R_1) \]
圆台侧面均匀带电，电荷面密度为σ。侧面的电荷分布可以看作是由一系列同心圆环组成，每个圆环的半径从R1变化到R2，圆环的宽度为dr。
步骤 2：计算每个圆环在顶点O处产生的电势
每个圆环在顶点O处产生的电势可以使用点电荷的电势公式计算。对于半径为r的圆环，其在顶点O处产生的电势为：
\[ dV = \frac{\sigma \cdot 2\pi r \cdot dr}{4\pi \varepsilon_0 \cdot r} = \frac{\sigma \cdot dr}{2\varepsilon_0} \]
其中，2πrdr是圆环的面积，r是圆环到顶点O的距离。
步骤 3：积分求解总电势
将所有圆环在顶点O处产生的电势进行积分，得到总电势：
\[ V = \int_{R_1}^{R_2} \frac{\sigma \cdot dr}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \int_{R_1}^{R_2} dr = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} (R_2 - R_1) \]