例8 证明一次近似式:(1) ^xapprox 1+x.

考查要点：本题主要考查一次近似式（泰勒展开的一次项）的应用，需要学生掌握函数在某一点的线性近似方法。

解题核心思路：利用函数在某点的函数值和导数值，构造一次近似式。关键在于正确计算函数在$x=0$处的值和导数值，并代入一次近似公式。

破题关键点：

1. 识别题目要求：证明$e^x$的一次近似式为$1+x$，即使用泰勒展开的一次项。
2. 确定公式依据：使用一次近似公式$f(x) \approx f(0) + f'(0)x$。
3. 计算函数值与导数值：$f(0)=e^0=1$，$f'(0)=e^0=1$。

步骤1：定义函数与求导
设$f(x) = e^x$，则其导数为$f'(x) = e^x$。

步骤2：计算函数值与导数值在$x=0$处的值

• $f(0) = e^0 = 1$
• $f'(0) = e^0 = 1$

步骤3：代入一次近似公式
根据一次近似公式：
$f(x) \approx f(0) + f'(0)x$
代入已知值：
$e^x \approx 1 + 1 \cdot x = 1 + x$