题目
六、对于常微分方程初值问题{}(dy)/(dx)=2x-yy(0)=1.，取步长h=0.2，分别用欧拉公式和改进的欧拉方法求y(0.2)的近似值。解：欧拉公式：y_(n+1)=y_(n)+0.2(2x_(n)-y_(n))=0.4x_(n)+0.8y_(n)y(0.2)=y_(1)=0.8改进的欧拉公式：}y_(n+1)=y_(n)+0.2(2x_(n)-y_(n))=0.4x_(n)+0.8y_(n)y_(n+1)=y_(n)+0.1(2x_(n)-y_(n)+2x_(n+1)-y_(n+1))=0.16x_(n)+0.2x_(n+1)+0.82y_(n)y(0.2)=y_(1)=0.2times0.2+0.86times1=0.86
六、对于常微分方程初值问题$\left\{\begin{matrix}\frac{dy}{dx}=2x-y\\y(0)=1\end{matrix}\right.$，取步长h=0.2，分别用欧拉公式和改进的欧拉方法求y(0.2)的近似值。
解：欧拉公式：$y_{n+1}=y_{n}+0.2(2x_{n}-y_{n})=0.4x_{n}+0.8y_{n}$
$y(0.2)=y_{1}=0.8$
改进的欧拉公式：$\begin{cases}y_{n+1}=y_{n}+0.2(2x_{n}-y_{n})=0.4x_{n}+0.8y_{n}\\y_{n+1}=y_{n}+0.1(2x_{n}-y_{n}+2x_{n+1}-y_{n+1})=0.16x_{n}+0.2x_{n+1}+0.82y_{n}\end{cases}$
$y(0.2)=y_{1}=0.2\times0.2+0.86\times1=0.86$
题目解答
答案
为了解决给定的常微分方程初值问题$\left\{\begin{matrix}\frac{dy}{dx}=2x-y\\y(0)=1\end{matrix}\right.$使用欧拉公式和改进的欧拉方法，我们将按照以下步骤进行：
### 欧拉公式
欧拉公式由下式给出：
\[ y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) \]
其中 $ f(x, y) = 2x - y $ 且 $ h = 0.2 $。因此，公式变为：
\[ y_{n+1} = y_n + 0.2 (2x_n - y_n) = 0.4x_n + 0.8y_n \]
我们从 $ x_0 = 0 $ 和 $ y_0 = 1 $ 开始。为了找到 $ y(0.2) $，我们计算 $ y_1 $：
\[ y_1 = 0.4 \cdot 0 + 0.8 \cdot 1 = 0.8 \]
因此，使用欧拉公式 $ y(0.2) $ 的近似值为：
\[ \boxed{0.8} \]
### 改进的欧拉方法
改进的欧拉方法由以下步骤给出：
1. 计算预测值 $ y_{n+1}^* $ 使用欧拉公式：
\[ y_{n+1}^* = y_n + h f(x_n, y_n) \]
2. 使用预测值计算校正值 $ y_{n+1} $：
\[ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \left( f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_{n+1}^*) \right) \]
使用 $ f(x, y) = 2x - y $ 和 $ h = 0.2 $，预测值为：
\[ y_{n+1}^* = y_n + 0.2 (2x_n - y_n) = 0.4x_n + 0.8y_n \]
校正值为：
\[ y_{n+1} = y_n + \frac{0.2}{2} \left( (2x_n - y_n) + (2x_{n+1} - y_{n+1}^*) \right) = y_n + 0.1 \left( 2x_n - y_n + 2(x_n + 0.2) - (0.4x_n + 0.8y_n) \right) \]
\[ y_{n+1} = y_n + 0.1 \left( 2x_n - y_n + 2x_n + 0.4 - 0.4x_n - 0.8y_n \right) = y_n + 0.1 \left( 1.6x_n + 0.4 - 1.8y_n \right) \]
\[ y_{n+1} = y_n + 0.16x_n + 0.04 - 0.18y_n = 0.82y_n + 0.16x_n + 0.04 \]
我们从 $ x_0 = 0 $ 和 $ y_0 = 1 $ 开始。为了找到 $ y(0.2) $，我们计算 $ y_1 $：
\[ y_1 = 0.82 \cdot 1 + 0.16 \cdot 0 + 0.04 = 0.86 \]
因此，使用改进的欧拉方法 $ y(0.2) $ 的近似值为：
\[ \boxed{0.86} \]