题目
2.验证给出的函数是否为相应微分方程的解:(1) 5(dy)/(dx)=3x^2+5x, y=(x^3)/(5)+(x^2)/(2)+C;(2)(dy)/(dx)=p(x)y,p(x)连续，y=Ce^int p(x)dx;(3)(x+y)dx+xdy=0, y=(C^2-x^2)/(2x);(4)y^primeprime=x^2+y^2, y=(1)/(x).
2.验证给出的函数是否为相应微分方程的解:
(1)$ 5\frac{dy}{dx}=3x^{2}+5x,$ $y=\frac{x^{3}}{5}+\frac{x^{2}}{2}+C;$
(2)$\frac{dy}{dx}=p(x)y,p(x)$连续，$y=Ce^{\int p(x)dx};$
(3)$(x+y)dx+xdy=0,$ $y=\frac{C^{2}-x^{2}}{2x};$
(4)$y^{\prime\prime}=x^{2}+y^{2},$ $y=\frac{1}{x}.$
题目解答
答案
(1) 对 $y = \frac{x^3}{5} + \frac{x^2}{2} + C$ 求导得 $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{5} + x$，代入原方程成立，故是解。
(2) 对 $y = Ce^{\int p(x)dx}$ 求导得 $\frac{dy}{dx} = p(x)y$，与原方程一致，故是解。
(3) 对 $y = \frac{C^2 - x^2}{2x}$ 求导并代入原方程，化简后得0，满足方程，故是解。
(4) 对 $y = \frac{1}{x}$ 求二阶导得 $y'' = \frac{2}{x^3}$，代入原方程不成立，故不是解。
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
(1) & \text{是} \\
(2) & \text{是} \\
(3) & \text{是} \\
(4) & \text{不是} \\
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：验证方程 (1)
对 $y = \frac{x^3}{5} + \frac{x^2}{2} + C$ 求导得 $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{5} + x$，代入原方程 $5\frac{dy}{dx}=3x^{2}+5x$，验证是否成立。
步骤 2：验证方程 (2)
对 $y = Ce^{\int p(x)dx}$ 求导得 $\frac{dy}{dx} = p(x)y$，与原方程 $\frac{dy}{dx}=p(x)y$ 一致，验证是否成立。
步骤 3：验证方程 (3)
对 $y = \frac{C^2 - x^2}{2x}$ 求导并代入原方程 $(x+y)dx+xdy=0$，化简后验证是否成立。
步骤 4：验证方程 (4)
对 $y = \frac{1}{x}$ 求二阶导得 $y'' = \frac{2}{x^3}$，代入原方程 $y^{\prime\prime}=x^{2}+y^{2}$，验证是否成立。
对 $y = \frac{x^3}{5} + \frac{x^2}{2} + C$ 求导得 $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{5} + x$，代入原方程 $5\frac{dy}{dx}=3x^{2}+5x$，验证是否成立。
步骤 2：验证方程 (2)
对 $y = Ce^{\int p(x)dx}$ 求导得 $\frac{dy}{dx} = p(x)y$，与原方程 $\frac{dy}{dx}=p(x)y$ 一致，验证是否成立。
步骤 3：验证方程 (3)
对 $y = \frac{C^2 - x^2}{2x}$ 求导并代入原方程 $(x+y)dx+xdy=0$，化简后验证是否成立。
步骤 4：验证方程 (4)
对 $y = \frac{1}{x}$ 求二阶导得 $y'' = \frac{2}{x^3}$，代入原方程 $y^{\prime\prime}=x^{2}+y^{2}$，验证是否成立。