若级数 sum_(n=1)^infty u_n 收敛于 S，则级数 sum_(n=1)^infty (u_n + u_(n+1))(）.A. 收敛于 2SB. 收敛于 2S + u_1C. 收敛于 2S - u_1D. 发散

本题考查级数收敛的性质以及级数和的计算。解题思路是先将级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(u_n + u_{n + 1})$的前$n$项和$S_n$表示出来，再根据已知条件$\sum_{n = 1}^{\infty}u_n$收敛于$S$，求出$\lim\limits_{n \to \infty}S_n$，进而得到级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(u_n + u_{n + 1})$的和。

1. 求级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(u_n + u_{n + 1})$的前$n$项和$S_n$：
   $S_n=(u_1 + u_2)+(u_2 + u_3)+(u_3 + u_4)+\cdots +(u_n + u_{n + 1})$
   将上式展开并重新组合可得：
   $S_n=u_1 + 2u_2 + 2u_3 + \cdots + 2u_n + u_{n + 1}=u_1 + 2(u_2 + u_3 + \cdots + u_n)+u_{n + 1}$
   因为$\sum_{n = 1}^{\infty}u_n$的前$n$项和为$T_n=u_1 + u_2 + u_3 + \cdots + u_n$，所以$u_2 + u_3 + \cdots + u_n=T_n - u_1$，则$S_n$可表示为：
   $S_n=u_1 + 2(T_n - u_1)+u_{n + 1}=2T_n - u_1 + u_{n + 1}$

2. 求$\lim\limits_{n \to \infty}S_n$：
   已知级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_n$收敛于$S$，根据级数收敛的定义可知$\lim\limits_{n \to \infty}T_n = S$。
   又因为$\sum_{n = 1}^{\infty}u_n$收敛，则$\lim\limits_{n \to \infty}u_n = 0$，所以$\lim\limits_{n \to \infty}u_{n + 1} = 0$。
   对$S_n=2T_n - u_1 + u_{n + 1}$两边同时取$n \to \infty$的极限可得：
   $\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}(2T_n - u_1 + u_{n + 1})$
   根据极限的四则运算法则$\lim\limits_{n \to \infty}(a_n + b_n)=\lim\limits_{n \to \infty}a_n + \lim\limits_{n \to \infty}b_n$，可得：
   $\lim\limits_{n \to \infty}S_n=2\lim\limits_{n \to \infty}T_n - \lim\limits_{n \to \infty}u_1 + \lim\limits_{n \to \infty}u_{n + 1}$
   将$\lim\limits_{n \to \infty}T_n = S$，$\lim\limits_{n \to \infty}u_1 = u_1$，$\lim\limits_{n \to \infty}u_{n + 1} = 0$代入上式可得：
   $\lim\limits_{n \to \infty}S_n=2S - u_1 + 0 = 2S - u_1$

3. 根据级数收敛的定义判断级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(u_n + u_{n + 1})$的敛散性并求其和：
   因为$\lim\limits_{n \to \infty}S_n = 2S - u_1$存在，所以级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(u_n + u_{n + 1})$收敛，且其和为$2S - u_1$。