6.设一平面过点M_(0)(1,2,-1)且垂直于平面3x-4y+z+16=0和4x-z+6=0，试求这平面方程

考查要点：本题主要考查平面方程的求解，涉及平面垂直的条件及法向量的计算。

解题核心思路：

1. 确定法向量：所求平面需同时垂直于两个已知平面，因此其法向量应与这两个平面的法向量均垂直，可通过向量叉乘求得。
2. 点法式方程：利用已知点和法向量，代入平面方程的标准形式。

破题关键点：

• 法向量的叉乘计算：正确计算两个已知法向量的叉乘，得到所求平面的法向量。
• 方程化简：代入点坐标后展开并整理方程，确保常数项计算无误。

1. 求法向量
   已知两平面的法向量分别为 $\mathbf{n}_1 = (3, -4, 1)$ 和 $\mathbf{n}_2 = (4, 0, -1)$。
   所求平面的法向量 $\mathbf{n}$ 需与 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$ 均垂直，因此：
   $\mathbf{n} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -4 & 1 \\ 4 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (4, 7, 16)$

2. 代入点法式方程
   平面过点 $M_0(1, 2, -1)$，利用点法式方程：
   $4(x - 1) + 7(y - 2) + 16(z + 1) = 0$
   展开并化简：
   $4x - 4 + 7y - 14 + 16z + 16 = 0 \implies 4x + 7y + 16z - 2 = 0$