4.计算下列各行列式:-|||-4 1 2 4-|||-1 2 0 2-|||-(1) 10 5 2 0-|||-;-|||-0 1 1 7

考查要点：本题主要考查行列式的计算方法，特别是通过行变换化简行列式，利用代数余子式展开的技巧。

解题核心思路：

1. 化简行列式：通过行变换创造某一行（或列）含有较多零元素，简化计算。
2. 代数余子式展开：选择化简后含零元素较多的行或列展开，只需计算非零元素对应的代数余子式。

破题关键点：

• 观察行列式结构，优先选择操作后能快速生成零元素的行或列。
• 行变换规则：通过加减行操作消去目标行的非零元素，注意保持行列式值不变。

原行列式：
$\begin{vmatrix}4 & 1 & 2 & 4 \\1 & 2 & 0 & 2 \\10 & 5 & 2 & 0 \\0 & 1 & 1 & 7\end{vmatrix}$

步骤1：行变换创造零元素

1. 消去第四行第二个元素：
   第四行减去 $\frac{1}{2}$ 倍第二行：
   $R4 \leftarrow R4 - \frac{1}{2}R2$
   变化后第四行：$0, 0, 1, 6$

2. 消去第四行第三个元素：
   第四行减去 $\frac{1}{2}$ 倍第三行：
   $R4 \leftarrow R4 - \frac{1}{2}R3$
   变化后第四行：$0, 0, 0, 6$

步骤2：代数余子式展开
展开第四行，仅需计算最后一个非零元素 $6$ 对应的代数余子式 $A_{44}$：
$D = 6 \cdot A_{44}$
其中，代数余子式 $A_{44}$ 为：
$A_{44} = (-1)^{4+4} \cdot M_{44} = M_{44}$
余子式 $M_{44}$ 为删除第四行第四列后的子行列式：
$M_{44} = \begin{vmatrix}4 & 1 & 2 \\1 & 2 & 0 \\10 & 5 & 2\end{vmatrix}$

步骤3：计算余子式
展开计算：
$\begin{aligned}M_{44} &= 4 \cdot (2 \cdot 2 - 0 \cdot 5) - 1 \cdot (1 \cdot 2 - 0 \cdot 10) + 2 \cdot (1 \cdot 5 - 2 \cdot 10) \\&= 4 \cdot 4 - 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-15) \\&= 16 - 2 - 30 = -16\end{aligned}$

步骤4：最终结果
$D = 6 \cdot (-16) = -96$