曲线积分 oint_(L) (x^2 + y^2), ds，其中 L 是圆心在原点，半径为 a 的圆周，则曲线积分值为（A. 2pi a^2B. pi a^3C. 2pi a^3D. 4pi a^3

本题考查第一类曲线积分的计算。解题思路是先将圆周曲线进行参数化，然后求出弧长微分，再将参数方程代入曲线积分表达式进行计算；也可以利用曲线方程的特点简化计算。

1. 参数化曲线并求弧长微分：
   • 已知圆周$L$的圆心在原点，半径为$a$，其参数方程为$x = a\cos\theta$，$y = a\sin\theta$，其中$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
   • 根据弧长微分公式$ds=\sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2+(\frac{dy}{d\theta})^2}d\theta$，对$x = a\cos\theta$求导得$\frac{dx}{d\theta}=-a\sin\theta$，对$y = a\sin\theta$求导得$\frac{dy}{d\theta}=a\cos\theta$。
   • 则$ds=\sqrt{(-a\sin\theta)^2+(a\cos\theta)^2}d\theta=\sqrt{a^2\sin^2\theta + a^2\cos^2\theta}d\theta$。
   • 根据三角函数的平方关系$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$，可得$ds=\sqrt{a^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta)}d\theta=\sqrt{a^2}d\theta = a d\theta$。
2. 代入曲线积分表达式计算：
   • 因为$x = a\cos\theta$，$y = a\sin\theta$，所以$x^2 + y^2 = a^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta = a^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)=a^2$。
   • 则曲线积分$\oint_{L} (x^2 + y^2)\, ds=\int_{0}^{2\pi} a^2\cdot a d\theta$。
   • 先计算$a^2\cdot a = a^{2 + 1}=a^3$，则$\int_{0}^{2\pi} a^2\cdot a d\theta=\int_{0}^{2\pi} a^3 d\theta$。
   • 根据定积分的计算法则$\int_{0}^{2\pi} a^3 d\theta=a^3\int_{0}^{2\pi} d\theta$，而$\int_{0}^{2\pi} d\theta=\theta\big|_{0}^{2\pi}=2\pi - 0 = 2\pi$。
   • 所以$a^3\int_{0}^{2\pi} d\theta=a^3\cdot 2\pi = 2\pi a^3$。
3. 利用曲线方程特点简化计算：
   • 因为曲线$L$是圆心在原点，半径为$a$的圆周，所以在曲线$L$上$x^2 + y^2 = a^2$。
   • 则曲线积分$\oint_{L} (x^2 + y^2)\, ds=\oint_{L} a^2 ds$。
   • 根据第一类曲线积分的性质$\oint_{L} k ds=k\oint_{L} ds$（$k$为常数），这里$k = a^2$，而$\oint_{L} ds$表示曲线$L$的弧长。
   • 已知圆的周长公式为$C = 2\pi r$（$r$为半径），所以该圆周的弧长为$2\pi a$。
   • 则$\oint_{L} a^2 ds=a^2\cdot 2\pi a = 2\pi a^3$。