题目

8.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7.今各投3次.求:(1)两人投中次数相等的概率.-|||-(2)甲比乙投中次数多的概率.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查二项分布的概率计算及独立事件的概率乘法公式，涉及分类讨论和分步计算的能力。

解题核心思路：

  1. 确定分布：甲、乙投篮次数均服从二项分布，即$X \sim b(3,0.6)$，$Y \sim b(3,0.7)$。
  2. 分类计算：
    • 两人投中次数相等：需计算所有可能的相等次数（0,1,2,3次）对应的联合概率之和。
    • 甲比乙投中次数多：需枚举所有满足$X > Y$的情况，计算对应的联合概率之和。
  3. 独立事件性质：由于甲、乙投篮独立，联合概率可分解为各自概率的乘积。

破题关键点：

  • 正确应用二项分布公式：$P(X=k) = C_3^k (0.6)^k (0.4)^{3-k}$，同理计算$P(Y=k)$。
  • 系统枚举所有符合条件的组合，避免遗漏或重复。

第（1）题：两人投中次数相等的概率

步骤1：计算甲、乙各投中$k$次的概率

  • 甲投中$k$次的概率：
    $P(X=k) = C_3^k (0.6)^k (0.4)^{3-k}$
    具体值：
    $P(X=0)=0.064$，$P(X=1)=0.288$，$P(X=2)=0.432$，$P(X=3)=0.216$
  • 乙投中$k$次的概率：
    $P(Y=k) = C_3^k (0.7)^k (0.3)^{3-k}$
    具体值：
    $P(Y=0)=0.027$，$P(Y=1)=0.189$，$P(Y=2)=0.441$，$P(Y=3)=0.343$

步骤2：计算联合概率并求和

两人投中次数相等的概率为：
$P(A) = \sum_{k=0}^3 P(X=k)P(Y=k) = 0.064 \times 0.027 + 0.288 \times 0.189 + 0.432 \times 0.441 + 0.216 \times 0.343 \approx 0.321$

第（2）题：甲比乙投中次数多的概率

步骤1：枚举所有满足$X > Y$的情况

  • 当$X=1$时：$Y=0$
    $P(X=1,Y=0) = 0.288 \times 0.027 = 0.00648$
  • 当$X=2$时：$Y=0,1$
    $P(X=2,Y=0) = 0.432 \times 0.027 = 0.011664$
    $P(X=2,Y=1) = 0.432 \times 0.189 = 0.081648$
  • 当$X=3$时：$Y=0,1,2$
    $P(X=3,Y=0) = 0.216 \times 0.027 = 0.005832$
    $P(X=3,Y=1) = 0.216 \times 0.189 = 0.040824$
    $P(X=3,Y=2) = 0.216 \times 0.441 = 0.094896$

步骤2：求和所有情况的概率

$P(B) = 0.00648 + 0.011664 + 0.081648 + 0.005832 + 0.040824 + 0.094896 \approx 0.243$