函数 z = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x 的极大值和极小值分别是().A. -5, -31B. 31, -5C. 5, -31D. 31, 5

步骤 1：求偏导数
首先，我们需要对函数 $z = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x$ 求偏导数，以找到可能的极值点。
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 + 6x - 9
$$
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = -3y^2 + 6y
$$
步骤 2：求驻点
令偏导数等于零，求解方程组以找到驻点。
$$
3x^2 + 6x - 9 = 0
$$
$$
-3y^2 + 6y = 0
$$
解第一个方程：
$$
x^2 + 2x - 3 = 0
$$
$$
(x + 3)(x - 1) = 0
$$
得到 $x = -3$ 或 $x = 1$。
解第二个方程：
$$
y^2 - 2y = 0
$$
$$
y(y - 2) = 0
$$
得到 $y = 0$ 或 $y = 2$。
因此，驻点为 $(-3, 0)$, $(-3, 2)$, $(1, 0)$, $(1, 2)$。
步骤 3：判断极值
为了判断这些驻点是否为极值点，我们需要计算二阶偏导数，并使用Hessian矩阵。
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6x + 6
$$
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -6y + 6
$$
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0
$$
Hessian矩阵为：
$$
H = \begin{pmatrix}
6x + 6 & 0 \\
0 & -6y + 6
\end{pmatrix}
$$
对于每个驻点，我们计算Hessian矩阵的行列式：
$$
\det(H) = (6x + 6)(-6y + 6)
$$
对于 $(-3, 0)$，$\det(H) = 0$，无法判断。
对于 $(-3, 2)$，$\det(H) = 36 > 0$，且 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -12 < 0$，所以是极大值点。
对于 $(1, 0)$，$\det(H) = 36 > 0$，且 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 12 > 0$，所以是极小值点。
对于 $(1, 2)$，$\det(H) = 0$，无法判断。
步骤 4：计算极值
计算 $(-3, 2)$ 和 $(1, 0)$ 的函数值：
$$
z(-3, 2) = (-3)^3 - 2^3 + 3(-3)^2 + 3(2)^2 - 9(-3) = -27 - 8 + 27 + 12 + 27 = 31
$$
$$
z(1, 0) = 1^3 - 0^3 + 3(1)^2 + 3(0)^2 - 9(1) = 1 + 3 - 9 = -5
$$