题目
lim _(xarrow 4)dfrac (sqrt {2x+1)-3}(sqrt {x-2)-sqrt (2)}=.
.
题目解答
答案
解：
∵ 该极限是 
型极限
∴ 采用洛必达法则，得
解析
步骤 1：确定极限类型
观察给定的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {\sqrt {2x+1}-3}{\sqrt {x-2}-\sqrt {2}}$，当 $x$ 趋向于 4 时，分子 $\sqrt {2x+1}-3$ 和分母 $\sqrt {x-2}-\sqrt {2}$ 都趋向于 0，因此这是一个 $\dfrac {0}{0}$ 型极限。
步骤 2：应用洛必达法则
由于极限是 $\dfrac {0}{0}$ 型，可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导，然后求导后的极限。
分子的导数为 $\dfrac {d}{dx}(\sqrt {2x+1}-3) = \dfrac {1}{2\sqrt {2x+1}} \cdot 2 = \dfrac {1}{\sqrt {2x+1}}$。
分母的导数为 $\dfrac {d}{dx}(\sqrt {x-2}-\sqrt {2}) = \dfrac {1}{2\sqrt {x-2}}$。
因此，原极限可以转化为 $\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {\dfrac {1}{\sqrt {2x+1}}}{\dfrac {1}{2\sqrt {x-2}}}$。
步骤 3：简化并求极限
将导数代入，得到 $\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {2\sqrt {x-2}}{\sqrt {2x+1}}$。将 $x=4$ 代入，得到 $\dfrac {2\sqrt {4-2}}{\sqrt {2\cdot 4+1}} = \dfrac {2\sqrt {2}}{\sqrt {9}} = \dfrac {2\sqrt {2}}{3}$。
观察给定的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {\sqrt {2x+1}-3}{\sqrt {x-2}-\sqrt {2}}$，当 $x$ 趋向于 4 时，分子 $\sqrt {2x+1}-3$ 和分母 $\sqrt {x-2}-\sqrt {2}$ 都趋向于 0，因此这是一个 $\dfrac {0}{0}$ 型极限。
步骤 2：应用洛必达法则
由于极限是 $\dfrac {0}{0}$ 型，可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导，然后求导后的极限。
分子的导数为 $\dfrac {d}{dx}(\sqrt {2x+1}-3) = \dfrac {1}{2\sqrt {2x+1}} \cdot 2 = \dfrac {1}{\sqrt {2x+1}}$。
分母的导数为 $\dfrac {d}{dx}(\sqrt {x-2}-\sqrt {2}) = \dfrac {1}{2\sqrt {x-2}}$。
因此，原极限可以转化为 $\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {\dfrac {1}{\sqrt {2x+1}}}{\dfrac {1}{2\sqrt {x-2}}}$。
步骤 3：简化并求极限
将导数代入，得到 $\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {2\sqrt {x-2}}{\sqrt {2x+1}}$。将 $x=4$ 代入，得到 $\dfrac {2\sqrt {4-2}}{\sqrt {2\cdot 4+1}} = \dfrac {2\sqrt {2}}{\sqrt {9}} = \dfrac {2\sqrt {2}}{3}$。