题目
2.设A=(}2&2&-22&5&-4-2&-4&5AT成对角形.
2.设$A=\left(\begin{matrix}2&2&-2\\2&5&-4\\-2&-4&5\end{matrix}\right)$，求正交矩阵T，使$T^{*}AT$成对角形.
题目解答
答案
求解步骤如下：
1. **求特征值**：
解特征方程 $ \det(\lambda I - A) = 0 $，得特征值 $ \lambda_1 = \lambda_2 = 1 $，$ \lambda_3 = 10 $。
2. **求特征向量**：
- 对于 $ \lambda = 1 $，解得特征向量 $ \alpha_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} $，$ \alpha_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $。
- 对于 $ \lambda = 10 $，解得特征向量 $ \alpha_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} $。
3. **正交化与单位化**：
对 $ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $ 进行正交化和单位化，得到 $ \gamma_1, \gamma_2 $，并单位化 $ \alpha_3 $ 得到 $ \gamma_3 $。
4. **构造正交矩阵**：
将 $ \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3 $ 组成正交矩阵 $ T $。
**答案**：
\[
\boxed{
\begin{pmatrix}
\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{2}{3\sqrt{5}} & \frac{1}{3} \\
-\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{4}{3\sqrt{5}} & \frac{2}{3} \\
0 & \frac{5}{3\sqrt{5}} & -\frac{2}{3}
\end{pmatrix}
\]
解析
考查要点：本题主要考查实对称矩阵的正交对角化方法，涉及特征值、特征向量的计算，以及正交化、单位化的过程。
解题核心思路：
- 求特征值：通过解特征方程 $\det(\lambda I - A) = 0$ 得到特征值。
- 求特征向量：对每个特征值，解齐次方程 $(A - \lambda I)\mathbf{x} = 0$ 得到对应的特征向量。
- 正交化与单位化：对属于同一特征值的特征向量进行正交化（如格拉姆-施密特正交化），并对所有向量进行单位化。
- 构造正交矩阵：将正交化、单位化后的向量作为列向量组成正交矩阵 $T$。
破题关键点：
- 实对称矩阵的性质：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，同一特征值对应的特征向量需正交化。
- 正交矩阵的构造：确保所有列向量单位正交。
1. 求特征值
解特征方程 $\det(\lambda I - A) = 0$，得特征值 $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = 10$。
2. 求特征向量
- 对于 $\lambda = 1$：
解 $(A - I)\mathbf{x} = 0$，得两个线性无关的特征向量：
$\alpha_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \alpha_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ - 对于 $\lambda = 10$：
解 $(A - 10I)\mathbf{x} = 0$，得特征向量：
$\alpha_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$
3. 正交化与单位化
- 对 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 正交化：
- 保留 $\alpha_1$，单位化得 $\gamma_1 = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$。
- 将 $\alpha_2$ 正交化为 $\beta_2 = \alpha_2 - \text{proj}_{\gamma_1}(\alpha_2)$，再单位化得：
$\gamma_2 = \dfrac{1}{3\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$
- 单位化 $\alpha_3$：
$\gamma_3 = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$
4. 构造正交矩阵
将 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ 作为列向量，组成正交矩阵 $T$。