题目
填空:-|||-(1) int (x)^3(e)^xdx= __ ;-|||-(2) int dfrac (x+5)({x)^2-6x+13}dx= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：使用分部积分法求解 $\int {x}^{3}{e}^{x}dx$
分部积分法的公式为 $\int u dv = uv - \int v du$。这里，我们选择 $u = x^3$ 和 $dv = e^x dx$，则 $du = 3x^2 dx$ 和 $v = e^x$。因此，$\int {x}^{3}{e}^{x}dx = x^3 e^x - \int 3x^2 e^x dx$。接下来，我们继续使用分部积分法求解 $\int 3x^2 e^x dx$，直到所有项都被积分。
步骤 2：继续使用分部积分法求解 $\int 3x^2 e^x dx$
选择 $u = 3x^2$ 和 $dv = e^x dx$，则 $du = 6x dx$ 和 $v = e^x$。因此，$\int 3x^2 e^x dx = 3x^2 e^x - \int 6x e^x dx$。接下来，我们继续使用分部积分法求解 $\int 6x e^x dx$，直到所有项都被积分。
步骤 3：继续使用分部积分法求解 $\int 6x e^x dx$
选择 $u = 6x$ 和 $dv = e^x dx$，则 $du = 6 dx$ 和 $v = e^x$。因此，$\int 6x e^x dx = 6x e^x - \int 6 e^x dx$。接下来，我们继续使用分部积分法求解 $\int 6 e^x dx$，直到所有项都被积分。
步骤 4：求解 $\int 6 e^x dx$
$\int 6 e^x dx = 6 e^x$。因此，$\int {x}^{3}{e}^{x}dx = x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6 e^x + C$。
步骤 5：使用分部积分法求解 $\int \dfrac {x+5}{{x}^{2}-6x+13}dx$
首先，将分母分解为 $(x-3)^2 + 4$。然后，将分子分解为 $x-3 + 8$。因此，$\int \dfrac {x+5}{{x}^{2}-6x+13}dx = \int \dfrac {x-3}{{(x-3)}^{2}+4}dx + \int \dfrac {8}{{(x-3)}^{2}+4}dx$。接下来，我们分别求解这两个积分。
步骤 6：求解 $\int \dfrac {x-3}{{(x-3)}^{2}+4}dx$
令 $u = (x-3)^2 + 4$，则 $du = 2(x-3) dx$。因此，$\int \dfrac {x-3}{{(x-3)}^{2}+4}dx = \dfrac {1}{2} \int \dfrac {du}{u} = \dfrac {1}{2} \ln u = \dfrac {1}{2} \ln ((x-3)^2 + 4)$。
步骤 7：求解 $\int \dfrac {8}{{(x-3)}^{2}+4}dx$
令 $u = \dfrac {x-3}{2}$，则 $du = \dfrac {1}{2} dx$。因此，$\int \dfrac {8}{{(x-3)}^{2}+4}dx = 4 \int \dfrac {du}{u^2 + 1} = 4 \arctan u = 4 \arctan \dfrac {x-3}{2}$。
分部积分法的公式为 $\int u dv = uv - \int v du$。这里，我们选择 $u = x^3$ 和 $dv = e^x dx$，则 $du = 3x^2 dx$ 和 $v = e^x$。因此，$\int {x}^{3}{e}^{x}dx = x^3 e^x - \int 3x^2 e^x dx$。接下来，我们继续使用分部积分法求解 $\int 3x^2 e^x dx$，直到所有项都被积分。
步骤 2：继续使用分部积分法求解 $\int 3x^2 e^x dx$
选择 $u = 3x^2$ 和 $dv = e^x dx$，则 $du = 6x dx$ 和 $v = e^x$。因此，$\int 3x^2 e^x dx = 3x^2 e^x - \int 6x e^x dx$。接下来，我们继续使用分部积分法求解 $\int 6x e^x dx$，直到所有项都被积分。
步骤 3：继续使用分部积分法求解 $\int 6x e^x dx$
选择 $u = 6x$ 和 $dv = e^x dx$，则 $du = 6 dx$ 和 $v = e^x$。因此，$\int 6x e^x dx = 6x e^x - \int 6 e^x dx$。接下来，我们继续使用分部积分法求解 $\int 6 e^x dx$，直到所有项都被积分。
步骤 4：求解 $\int 6 e^x dx$
$\int 6 e^x dx = 6 e^x$。因此，$\int {x}^{3}{e}^{x}dx = x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6 e^x + C$。
步骤 5：使用分部积分法求解 $\int \dfrac {x+5}{{x}^{2}-6x+13}dx$
首先，将分母分解为 $(x-3)^2 + 4$。然后，将分子分解为 $x-3 + 8$。因此，$\int \dfrac {x+5}{{x}^{2}-6x+13}dx = \int \dfrac {x-3}{{(x-3)}^{2}+4}dx + \int \dfrac {8}{{(x-3)}^{2}+4}dx$。接下来，我们分别求解这两个积分。
步骤 6：求解 $\int \dfrac {x-3}{{(x-3)}^{2}+4}dx$
令 $u = (x-3)^2 + 4$，则 $du = 2(x-3) dx$。因此，$\int \dfrac {x-3}{{(x-3)}^{2}+4}dx = \dfrac {1}{2} \int \dfrac {du}{u} = \dfrac {1}{2} \ln u = \dfrac {1}{2} \ln ((x-3)^2 + 4)$。
步骤 7：求解 $\int \dfrac {8}{{(x-3)}^{2}+4}dx$
令 $u = \dfrac {x-3}{2}$，则 $du = \dfrac {1}{2} dx$。因此，$\int \dfrac {8}{{(x-3)}^{2}+4}dx = 4 \int \dfrac {du}{u^2 + 1} = 4 \arctan u = 4 \arctan \dfrac {x-3}{2}$。