题目
16.设 = (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant x} ,求 iint sqrt (x)dxdy -
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
给定的积分区域 $D$ 由不等式 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant x$ 定义。为了更好地理解这个区域，我们可以将其转换为极坐标形式。在极坐标中，$x=r\cos\theta$ 和 $y=r\sin\theta$，因此不等式变为 ${r}^{2}\leqslant r\cos\theta$，即 $r\leqslant \cos\theta$。这意味着积分区域是一个半径为 $\cos\theta$ 的圆，其中 $\theta$ 的范围是 $-\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{\pi}{2}$。
步骤 2：转换为极坐标积分
将积分 $\iint \sqrt {x}dxdy$ 转换为极坐标形式。在极坐标中，$dxdy$ 变为 $rdrd\theta$，因此积分变为 $\iint \sqrt {r\cos\theta}rdrd\theta$。根据步骤 1 的分析，$r$ 的范围是 $0$ 到 $\cos\theta$，$\theta$ 的范围是 $-\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{\pi}{2}$。
步骤 3：计算积分
计算积分 $\iint \sqrt {r\cos\theta}rdrd\theta$。首先对 $r$ 积分，然后对 $\theta$ 积分。对 $r$ 积分，我们得到 $\int_{0}^{\cos\theta} \sqrt {r\cos\theta}rdr = \int_{0}^{\cos\theta} {r}^{\frac{3}{2}}{\cos}^{\frac{1}{2}}\theta dr = \frac{2}{5}{\cos}^{\frac{1}{2}}\theta{\cos}^{\frac{5}{2}}\theta = \frac{2}{5}{\cos}^{3}\theta$。然后对 $\theta$ 积分，我们得到 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{5}{\cos}^{3}\theta d\theta = \frac{4}{5}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\cos}^{3}\theta d\theta = \frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{8}{15}$。
给定的积分区域 $D$ 由不等式 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant x$ 定义。为了更好地理解这个区域，我们可以将其转换为极坐标形式。在极坐标中，$x=r\cos\theta$ 和 $y=r\sin\theta$，因此不等式变为 ${r}^{2}\leqslant r\cos\theta$，即 $r\leqslant \cos\theta$。这意味着积分区域是一个半径为 $\cos\theta$ 的圆，其中 $\theta$ 的范围是 $-\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{\pi}{2}$。
步骤 2：转换为极坐标积分
将积分 $\iint \sqrt {x}dxdy$ 转换为极坐标形式。在极坐标中，$dxdy$ 变为 $rdrd\theta$，因此积分变为 $\iint \sqrt {r\cos\theta}rdrd\theta$。根据步骤 1 的分析，$r$ 的范围是 $0$ 到 $\cos\theta$，$\theta$ 的范围是 $-\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{\pi}{2}$。
步骤 3：计算积分
计算积分 $\iint \sqrt {r\cos\theta}rdrd\theta$。首先对 $r$ 积分，然后对 $\theta$ 积分。对 $r$ 积分，我们得到 $\int_{0}^{\cos\theta} \sqrt {r\cos\theta}rdr = \int_{0}^{\cos\theta} {r}^{\frac{3}{2}}{\cos}^{\frac{1}{2}}\theta dr = \frac{2}{5}{\cos}^{\frac{1}{2}}\theta{\cos}^{\frac{5}{2}}\theta = \frac{2}{5}{\cos}^{3}\theta$。然后对 $\theta$ 积分，我们得到 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{5}{\cos}^{3}\theta d\theta = \frac{4}{5}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\cos}^{3}\theta d\theta = \frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{8}{15}$。