题目
(6)已知alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3),beta,gamma均为四维列向量，又A=[alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3),beta],B=[alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3),gamma],若|A|=3,|B|=2,则|A+2B|=____.
(6)已知$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\beta,\gamma$均为四维列向量，又$A=[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\beta],B=[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\gamma]$,若$|A|=3,|B|=2$,则$|A+2B|=$____.
题目解答
答案
已知 $ A = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta] $，$ B = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \gamma] $，且 $ |A| = 3 $，$ |B| = 2 $。计算 $ |A + 2B| $：
1. **矩阵加法**：
$ A + 2B = [3\alpha_1, 3\alpha_2, 3\alpha_3, \beta + 2\gamma] $。
2. **行列式性质**：
提取公因数得 $ |A + 2B| = 27 \cdot |\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta + 2\gamma| $。
3. **列可加性**：
$ |\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta + 2\gamma| = |\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta| + 2 \cdot |\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \gamma| = 3 + 4 = 7 $。
4. **结果**：
$ |A + 2B| = 27 \cdot 7 = 189 $。
答案：$\boxed{189}$
解析
考查要点：本题主要考查行列式的性质，包括行列式的多重线性性（列可加性）和行列式的数乘性质。
解题核心思路：
- 矩阵加法：将矩阵$A+2B$的结构拆解为各列的线性组合。
- 行列式的数乘性质：前三列均为原列向量的3倍，整体行列式需提取公因数。
- 行列式的列可加性：将第4列拆分为$\beta$和$2\gamma$的组合，转化为已知行列式$|A|$和$|B|$的线性组合。
破题关键点：
- 识别矩阵加法后的列结构，明确各列的系数变化。
- 灵活应用行列式的性质，将复杂行列式拆解为已知值的组合。
-
矩阵加法
根据题意，矩阵$A+2B$的第1至第3列均为$3\alpha_1, 3\alpha_2, 3\alpha_3$，第4列为$\beta + 2\gamma$，即：
$A + 2B = [3\alpha_1, 3\alpha_2, 3\alpha_3, \beta + 2\gamma]$ -
行列式的数乘性质
前三列均提取公因数3，行列式整体乘以$3^3 = 27$：
$|A + 2B| = 27 \cdot |\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta + 2\gamma|$ -
行列式的列可加性
第4列$\beta + 2\gamma$可拆分为两个行列式的和：
$|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta + 2\gamma| = |\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta| + 2 \cdot |\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \gamma|$
代入已知条件$|A| = 3$和$|B| = 2$，得：
$|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta + 2\gamma| = 3 + 2 \cdot 2 = 7$ -
最终计算
将结果代入整体表达式：
$|A + 2B| = 27 \cdot 7 = 189$