题目
81.已知 lim _(xarrow a)dfrac (f(x)-A)(x-a)=k, 求 lim _(xarrow a)dfrac ({e)^f(x)-(e)^A}({x)^2-(a)^2}(aneq 0).
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用等价无穷小替换
由于 $e^{f(x)} - 1 \sim f(x)$ 和 $e^{A} - 1 \sim A$，可以得到 $e^{f(x)} - e^{A} \sim f(x) - A$。这意味着当 $x$ 接近 $a$ 时，$e^{f(x)} - e^{A}$ 可以用 $f(x) - A$ 来近似。
步骤 2：代入已知极限
根据已知条件 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)-A}{x-a}=K$，我们可以将 $f(x) - A$ 替换为 $K(x - a)$，从而得到 $e^{f(x)} - e^{A} \sim K(x - a)$。
步骤 3：计算极限
将 $e^{f(x)} - e^{A}$ 替换为 $K(x - a)$，并代入原极限式中，得到：
$$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {{e}^{f(x)}-{e}^{A}}{{x}^{2}-{a}^{2}} = \lim _{x\rightarrow a}\dfrac {K(x-a)}{(x-a)(x+a)} = \lim _{x\rightarrow a}\dfrac {K}{x+a}$$
由于 $x$ 接近 $a$，所以 $x + a$ 接近 $2a$，因此：
$$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {K}{x+a} = \dfrac {K}{2a}$$
由于 $e^{f(x)} - 1 \sim f(x)$ 和 $e^{A} - 1 \sim A$，可以得到 $e^{f(x)} - e^{A} \sim f(x) - A$。这意味着当 $x$ 接近 $a$ 时，$e^{f(x)} - e^{A}$ 可以用 $f(x) - A$ 来近似。
步骤 2：代入已知极限
根据已知条件 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)-A}{x-a}=K$，我们可以将 $f(x) - A$ 替换为 $K(x - a)$，从而得到 $e^{f(x)} - e^{A} \sim K(x - a)$。
步骤 3：计算极限
将 $e^{f(x)} - e^{A}$ 替换为 $K(x - a)$，并代入原极限式中，得到：
$$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {{e}^{f(x)}-{e}^{A}}{{x}^{2}-{a}^{2}} = \lim _{x\rightarrow a}\dfrac {K(x-a)}{(x-a)(x+a)} = \lim _{x\rightarrow a}\dfrac {K}{x+a}$$
由于 $x$ 接近 $a$，所以 $x + a$ 接近 $2a$，因此：
$$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {K}{x+a} = \dfrac {K}{2a}$$