5.计算二重积分iintlimits_(D)xydxdy，其中D是由曲线y=x^2,x=-1,x=2以及x轴所围成的闭区域.

本题考察二重积分的计算，具体为将二重积分转化为累次积分（迭代积分）进行求解，核心思路是根据积分区域的特点确定积分限，再分别对变量$y$和$x$依次积分。

步骤1：确定积分区域$D$

区域$D$由曲线$y=x^2$、$x=-1$、$x=2$及$x$轴（$y=0$）围成，是$x$型区域（$x$的范围固定，$y$随$x$变化）：

• $x$的范围：从左边界$x=-1$到右边界$x=2$，即$-1 \leq x \leq 2$；
• 对每个$x$，$y$的范围：从下边界$y=0$到上边界$y=x^2$，即$0 \leq y \leq x^2$。

步骤2：将二重积分转化为累次积分

根据$x$型区域的积分顺序，先对$y$积分，再对$x$积分：
$\iint\limits_{D}xy\,dxdy = \int_{-1}^{2} \left( \int_{0}^{x^2} xy\,dy \right) dx$

步骤3：内层积分（对$y$积分）

将$x$视为常数，提取出积分号：
$\int_{0}^{x^2} xy\,dy = x \int_{0}^{x^2} y\,dy$
计算$y$的积分：
$\int_{0}^{x^2} y\,dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{x^2} = \frac{(x^2)^2}{2} - 0 = \frac{x^4}{2}$
代入得：
$x \cdot \frac{x^4}{2} = \frac{x^5}{2}$

步骤4：外层积分（对$x$积分）

计算$\int_{-1}^{2} \frac{x^5}{2} dx$，提取常数$\frac{1}{2}$：
$\frac{1}{2} \int_{-1}^{2} x^5 dx$
计算$x^5$的积分：
$\int_{-1}^{2} x^5 dx = \left[ \frac{x^6}{6} \right]_{-1}^{2} = \frac{2^6}{6} - \frac{(-1)^6}{6} = \frac{64}{6} - \frac{1}{6} = \frac{63}{6} = \frac{21}{2}$
代入得：
$\frac{1}{2} \cdot \frac{21}{2} = \frac{21}{4}$