题目

设A为3阶方阵,且有特征值1,2,3；证明:矩阵^3-(5A)^2+7A可逆

设A为3阶方阵,且有特征值1,2,3；证明:矩阵 $A^3-5A^2+7A$ 可逆

题目解答

答案

设三阶方阵A的特征值为 $\lambda$ 且对应的特征向量为 $\alpha$

则 $A\alpha=\lambda\alpha$

$\left(A^3-5A^2+7A\right)\alpha=A^3\alpha-5A^2\alpha+7A\alpha=\lambda^3\alpha-5\lambda^2\alpha+7\lambda\alpha$

$=\left(\lambda^3-5\lambda^2+7\lambda\right)\alpha$

即 $A^3-5A^2+7A$ 的特征值为 $\lambda^3-5\lambda^2+7\lambda$ 为 $3,2,3$

则根据特征值的性质： $\prod_{i=1}^n\lambda_i=\left|A\right|$ 可知 $\left|A^3-5A^2+7A\right|=3\times2\times3=18$

因此，由矩阵A可逆的充要条件： $\left|A\right|\ne0$ 可知 $A^3-5A^2+7A$ 可逆。

解析

步骤 1：确定矩阵A的特征值
已知矩阵A的特征值为1, 2, 3。

步骤 2：计算矩阵${A}^{3}-5{A}^{2}+7A$的特征值
根据特征值的性质，如果$\lambda$是矩阵A的特征值，那么${\lambda}^{3}-5{\lambda}^{2}+7\lambda$是矩阵${A}^{3}-5{A}^{2}+7A$的特征值。
- 对于$\lambda=1$，${\lambda}^{3}-5{\lambda}^{2}+7\lambda=1-5+7=3$
- 对于$\lambda=2$，${\lambda}^{3}-5{\lambda}^{2}+7\lambda=8-20+14=2$
- 对于$\lambda=3$，${\lambda}^{3}-5{\lambda}^{2}+7\lambda=27-45+21=3$

步骤 3：证明矩阵${A}^{3}-5{A}^{2}+7A$可逆
矩阵${A}^{3}-5{A}^{2}+7A$的特征值为3, 2, 3，均不为0。根据矩阵可逆的充要条件，如果矩阵的特征值都不为0，则该矩阵可逆。