题目
设= (x,y)|4leqslant {x)^2+(y)^2leqslant 16} ，则二重积分= (x,y)|4leqslant {x)^2+(y)^2leqslant 16} 化为极坐标为（ ）A、= (x,y)|4leqslant {x)^2+(y)^2leqslant 16} B、= (x,y)|4leqslant {x)^2+(y)^2leqslant 16} C、= (x,y)|4leqslant {x)^2+(y)^2leqslant 16} D、= (x,y)|4leqslant {x)^2+(y)^2leqslant 16}
设
，则二重积分
化为极坐标为（ ）
A、
B、
C、
D、
题目解答
答案
由已知有：二重积分的积分区域为：
在极坐标下表示为：
故二重积分化为极坐标为：
故答案为：D
解析
步骤 1：确定积分区域
二重积分的积分区域为：$D=\{ (x,y)|4\leqslant {x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 16\} $，即圆环区域，内圆半径为2，外圆半径为4。
步骤 2：转换为极坐标
在极坐标下，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$，积分区域$D$表示为：$D=\{ (\theta ,r)\quad 0\leqslant \theta \leqslant 2\pi ,2\leqslant r\leqslant 4\} $。
步骤 3：计算二重积分
二重积分$\iint ({x}^{2}+{y}^{2})dxdy$化为极坐标为：
$\int ({x}^{2}+{y}^{2})dxdy=$ $\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{2}^{4}r^{2}rdr$=$\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{2}^{4}r^{3}dr$。
二重积分的积分区域为：$D=\{ (x,y)|4\leqslant {x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 16\} $，即圆环区域，内圆半径为2，外圆半径为4。
步骤 2：转换为极坐标
在极坐标下，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$，积分区域$D$表示为：$D=\{ (\theta ,r)\quad 0\leqslant \theta \leqslant 2\pi ,2\leqslant r\leqslant 4\} $。
步骤 3：计算二重积分
二重积分$\iint ({x}^{2}+{y}^{2})dxdy$化为极坐标为：
$\int ({x}^{2}+{y}^{2})dxdy=$ $\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{2}^{4}r^{2}rdr$=$\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{2}^{4}r^{3}dr$。