19.以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间(以分计),X的分-|||-布函数是 times (x)= ) 1-(e)^-0.4x,xgt 0 0,xleqslant 0..

本题考查指数分布的分布函数应用，需要根据给定的分布函数$F(x)$计算不同事件的概率。解题核心在于：

1. 理解分布函数定义：$F(x) = P(X \leq x)$；
2. 连续型随机变量的性质：单点概率为0；
3. 事件概率转换：如“至少”对应$P(X \geq a) = 1 - F(a)$，“区间概率”用$F(b) - F(a)$计算。

第（1）题

至多3分钟即$P(X \leq 3)$，直接代入分布函数：
$P(X \leq 3) = F(3) = 1 - e^{-0.4 \times 3} = 1 - e^{-1.2}.$

第（2）题

至少4分钟即$P(X \geq 4)$，利用补集性质：
$P(X \geq 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - F(4) = e^{-0.4 \times 4} = e^{-1.6}.$

第（3）题

3到4分钟之间即$P(3 < X \leq 4)$，通过分布函数差计算：
$P(3 < X \leq 4) = F(4) - F(3) = \left(1 - e^{-1.6}\right) - \left(1 - e^{-1.2}\right) = e^{-1.2} - e^{-1.6}.$

第（4）题

至多3分钟或至少4分钟，两事件互斥，概率相加：
$P(X \leq 3 \text{ 或 } X \geq 4) = P(X \leq 3) + P(X \geq 4) = (1 - e^{-1.2}) + e^{-1.6} = 1 + e^{-1.6} - e^{-1.2}.$

第（5）题

恰好2.5分钟，连续型变量单点概率为0：
$P(X = 2.5) = 0.$