题目
13.(单选题,20.0分)-|||-D= |} a& b& c& d c& b& d& a c& b& c& a a& b& d& c | .-|||-设 a、b、c、d各不同,则行列式第四列的代数余子式之和为()-|||-A 0-|||-B abcd-|||-C a^2b^2c^2d^221^2c^2d^2-|||-D abc^2d^2
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解代数余子式的定义
代数余子式是行列式中某个元素的余子式与该元素位置的符号（正或负）的乘积。对于一个n阶行列式，第i行第j列元素的代数余子式为$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，其中$M_{ij}$是去掉第i行第j列后剩下的(n-1)阶行列式。
步骤 2：计算第四列的代数余子式之和
行列式第四列的代数余子式之和为$A_{14}+A_{24}+A_{34}+A_{44}$。根据代数余子式的定义，这相当于将第四列的元素替换为1，其余元素保持不变，然后计算新行列式的值。
步骤 3：构造新行列式并计算
构造新行列式$D'=\left|\begin{matrix} a& b& c& 1\\ c& b& d& 1\\ c& b& c& 1\\ a& b& d& 1\end{matrix} \right|$，计算其值。由于第四列的元素都为1，可以将第四列的1提取出来，得到$D'=1\cdot\left|\begin{matrix} a& b& c\\ c& b& d\\ c& b& c\\ a& b& d\end{matrix} \right|$。观察这个行列式，发现第一行和第三行相同，根据行列式的性质，如果行列式中有两行（或两列）完全相同，则行列式的值为0。因此，$D'=0$。
代数余子式是行列式中某个元素的余子式与该元素位置的符号（正或负）的乘积。对于一个n阶行列式，第i行第j列元素的代数余子式为$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，其中$M_{ij}$是去掉第i行第j列后剩下的(n-1)阶行列式。
步骤 2：计算第四列的代数余子式之和
行列式第四列的代数余子式之和为$A_{14}+A_{24}+A_{34}+A_{44}$。根据代数余子式的定义，这相当于将第四列的元素替换为1，其余元素保持不变，然后计算新行列式的值。
步骤 3：构造新行列式并计算
构造新行列式$D'=\left|\begin{matrix} a& b& c& 1\\ c& b& d& 1\\ c& b& c& 1\\ a& b& d& 1\end{matrix} \right|$，计算其值。由于第四列的元素都为1，可以将第四列的1提取出来，得到$D'=1\cdot\left|\begin{matrix} a& b& c\\ c& b& d\\ c& b& c\\ a& b& d\end{matrix} \right|$。观察这个行列式，发现第一行和第三行相同，根据行列式的性质，如果行列式中有两行（或两列）完全相同，则行列式的值为0。因此，$D'=0$。