16.判断题(2分)sum_(n=1)^infty |u_(n) |发散,则sum_(n=1)^inftyu_(n)一定发散。( )√ ×

本题考查级数绝对收敛与条件收敛的概念以及它们之间的关系。解题的关键在于理解绝对收敛和条件收敛的定义，并通过具体例子来判断命题的正确性。

• 首先明确绝对收敛和条件收敛的定义：
  • 若级数$\sum_{n = 1}^{\infty}|u_{n}|$收敛，则称级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$绝对收敛。
  • 若级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛，而级数$\sum_{n = 1}^{\infty}|u_{n}|$发散，则称级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$条件收敛。
• 然后分析命题“$\sum_{n=1}^{\infty}\left |u_{n} \right |$发散，则$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$一定发散”：
  • 我们需要找到一个反例来证明该命题错误。考虑交错调和级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n + 1}}{n}$。
  • 对于交错调和级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n + 1}}{n}$，根据莱布尼茨判别法：
    • 设$a_{n}=\frac{1}{n}$，则$a_{n+1}=\frac{1}{n + 1}$。
    • 显然$a_{n+1}=\frac{1}{n + 1}<\frac{1}{n}=a_{n}$，且$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$。
    • 由莱布尼茨判别法可知，交错调和级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n + 1}}{n}$收敛，并且其和为$\ln(2)$。
  • 再看其绝对值级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n + 1}}{n}\right|=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$，这是调和级数，根据$p -$级数的敛散性（$p -$级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}$，当$p>1$时收敛，当$p\leqslant1$时发散），这里$p = 1$，所以$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散。
  • 这就说明存在级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$，使得$\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}|$发散，但$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$收敛，即原命题错误。