)int dfrac (dx)(2{x)^2-1};

考查要点：本题主要考查有理函数的不定积分计算，特别是通过部分分式分解将复杂分式转化为简单分式的和，进而利用自然对数积分公式求解。

解题核心思路：

1. 因式分解分母 $2x^2 - 1$，将其拆分为两个一次因式的乘积。
2. 构造分子，通过分子的线性组合实现分式的拆分，使得每个分式可直接积分。
3. 积分结果利用 $\int \frac{dx}{ax + b} = \frac{1}{a}\ln|ax + b| + C$ 的公式。

破题关键点：

• 正确分解分母：$2x^2 - 1 = (\sqrt{2}x - 1)(\sqrt{2}x + 1)$。
• 分子构造技巧：将分子写成 $(\sqrt{2}x + 1) - (\sqrt{2}x - 1)$，便于拆分分式。
• 积分时处理微分项：注意系数 $\sqrt{2}$ 对积分结果的影响。

步骤1：因式分解分母
将分母 $2x^2 - 1$ 分解为：
$2x^2 - 1 = (\sqrt{2}x - 1)(\sqrt{2}x + 1).$

步骤2：构造分子拆分分式
将分子 $1$ 表示为 $(\sqrt{2}x + 1) - (\sqrt{2}x - 1)$，则原积分变为：
$\begin{aligned}\int \frac{dx}{2x^2 - 1} &= \frac{1}{2} \int \frac{(\sqrt{2}x + 1) - (\sqrt{2}x - 1)}{(\sqrt{2}x - 1)(\sqrt{2}x + 1)} dx \\&= \frac{1}{2} \left( \int \frac{dx}{\sqrt{2}x - 1} - \int \frac{dx}{\sqrt{2}x + 1} \right).\end{aligned}$

步骤3：逐项积分
对每个分式分别积分：

1. 第一项：令 $u = \sqrt{2}x - 1$，则 $du = \sqrt{2} dx$，即 $dx = \frac{du}{\sqrt{2}}$，积分得：
   $\int \frac{dx}{\sqrt{2}x - 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln|\sqrt{2}x - 1| + C_1.$
2. 第二项：令 $v = \sqrt{2}x + 1$，同理得：
   $\int \frac{dx}{\sqrt{2}x + 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln|\sqrt{2}x + 1| + C_2.$

步骤4：合并结果
将两部分结果合并并整理系数：
$\begin{aligned}\int \frac{dx}{2x^2 - 1} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ln|\sqrt{2}x - 1| - \ln|\sqrt{2}x + 1| \right) + C \\&= \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln \left| \frac{\sqrt{2}x - 1}{\sqrt{2}x + 1} \right| + C.\end{aligned}$