题目
10. (3.0分) 如果在闭区域D上f(x,y)连续，那么有|iintlimits_(D)f(x,y)dsigma|leiintlimits_(D)|f(x,y)|dsigma. A 对 B 错A. 对B. 错
10. (3.0分)
如果在闭区域D上f(x,y)连续，那么有$\left|\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma\right|\le\iint\limits_{D}|f(x,y)|d\sigma$.
A 对
B 错
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：理解题目条件
题目给出的条件是在闭区域 $D$ 上函数 $f(x,y)$ 是连续的。这意味着 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的每一点都是连续的，且 $D$ 是一个闭合的区域，即包括边界。
步骤 2：应用积分的绝对值性质
对于闭区域 $D$ 上的连续函数 $f(x,y)$，我们有： \[ -|f(x,y)| \leq f(x,y) \leq |f(x,y)| \] 这是因为 $|f(x,y)|$ 是 $f(x,y)$ 的绝对值，所以 $f(x,y)$ 总是介于 $-|f(x,y)|$ 和 $|f(x,y)|$ 之间。
步骤 3：对不等式进行积分
对上述不等式在闭区域 $D$ 上进行积分，我们得到： \[ -\iint\limits_{D} |f(x,y)| \, d\sigma \leq \iint\limits_{D} f(x,y) \, d\sigma \leq \iint\limits_{D} |f(x,y)| \, d\sigma \] 这里，$d\sigma$ 表示面积元素，即在 $D$ 上的积分。
步骤 4：取绝对值
对步骤 3 中的不等式取绝对值，我们得到： \[ \left| \iint\limits_{D} f(x,y) \, d\sigma \right| \leq \iint\limits_{D} |f(x,y)| \, d\sigma \] 这是因为绝对值函数的性质保证了左边的绝对值不会超过右边的积分值。
题目给出的条件是在闭区域 $D$ 上函数 $f(x,y)$ 是连续的。这意味着 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的每一点都是连续的，且 $D$ 是一个闭合的区域，即包括边界。
步骤 2：应用积分的绝对值性质
对于闭区域 $D$ 上的连续函数 $f(x,y)$，我们有： \[ -|f(x,y)| \leq f(x,y) \leq |f(x,y)| \] 这是因为 $|f(x,y)|$ 是 $f(x,y)$ 的绝对值，所以 $f(x,y)$ 总是介于 $-|f(x,y)|$ 和 $|f(x,y)|$ 之间。
步骤 3：对不等式进行积分
对上述不等式在闭区域 $D$ 上进行积分，我们得到： \[ -\iint\limits_{D} |f(x,y)| \, d\sigma \leq \iint\limits_{D} f(x,y) \, d\sigma \leq \iint\limits_{D} |f(x,y)| \, d\sigma \] 这里，$d\sigma$ 表示面积元素，即在 $D$ 上的积分。
步骤 4：取绝对值
对步骤 3 中的不等式取绝对值，我们得到： \[ \left| \iint\limits_{D} f(x,y) \, d\sigma \right| \leq \iint\limits_{D} |f(x,y)| \, d\sigma \] 这是因为绝对值函数的性质保证了左边的绝对值不会超过右边的积分值。