题目
选择题:关于幂级数 sum _(n=1)^infty dfrac ({x)^n}(n) ,下列结论正确的是 ()-|||-(A)当且仅当 |x|lt 1 时收敛 (B)当且仅当 |x|leqslant 1 时收敛-|||-(C)当 -1leqslant xlt 1 时收敛 (D)当 -1lt xleqslant 1 时收敛
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定收敛半径
幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{x}^{n}}{n}$ 的收敛半径可以通过比值判别法来确定。比值判别法的公式为 $\lim _{n\rightarrow \infty }|\dfrac {{a}_{n}}{{a}_{n+1}}|$，其中 ${a}_{n}=\dfrac {1}{n}$。计算得 $\lim _{n\rightarrow \infty }|\dfrac {{a}_{n}}{{a}_{n+1}}|=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n+1}{n}=1$，因此收敛半径为1。
步骤 2：确定收敛区间
收敛半径为1，因此收敛区间为 (-1,1)。这意味着当 $-1\lt x\lt 1$ 时，幂级数收敛。
步骤 3：检查端点
当 $x=1$ 时，幂级数变为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$，这是一个调和级数，它是发散的。
当 $x=-1$ 时，幂级数变为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{n}$，这是一个交错级数，根据莱布尼茨判别法，它是收敛的。
幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{x}^{n}}{n}$ 的收敛半径可以通过比值判别法来确定。比值判别法的公式为 $\lim _{n\rightarrow \infty }|\dfrac {{a}_{n}}{{a}_{n+1}}|$，其中 ${a}_{n}=\dfrac {1}{n}$。计算得 $\lim _{n\rightarrow \infty }|\dfrac {{a}_{n}}{{a}_{n+1}}|=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n+1}{n}=1$，因此收敛半径为1。
步骤 2：确定收敛区间
收敛半径为1，因此收敛区间为 (-1,1)。这意味着当 $-1\lt x\lt 1$ 时，幂级数收敛。
步骤 3：检查端点
当 $x=1$ 时，幂级数变为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$，这是一个调和级数，它是发散的。
当 $x=-1$ 时，幂级数变为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{n}$，这是一个交错级数，根据莱布尼茨判别法，它是收敛的。