题目
要做一个容积为V的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时用料最省？
要做一个容积为V的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时用料最省？
题目解答
答案
当
时，用料最省
解析
步骤 1：确定圆柱体的体积和表面积公式
圆柱体的体积公式为 $V = \pi r^2 h$，其中 $r$ 是底面半径，$h$ 是高。圆柱体的表面积公式为 $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$，其中 $2\pi r^2$ 是两个底面的面积，$2\pi rh$ 是侧面的面积。
步骤 2：用体积公式表示高
由于题目中给出圆柱体的体积为 $V$，我们可以用体积公式表示高 $h$，即 $h = \frac{V}{\pi r^2}$。
步骤 3：将高代入表面积公式
将步骤 2 中得到的高 $h$ 代入表面积公式 $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$，得到 $S = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{V}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$。
步骤 4：求导数并找到极值
为了找到用料最省的条件，我们需要对表面积 $S$ 关于 $r$ 求导数，并找到导数为零的点。$S' = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}$。令 $S' = 0$，得到 $4\pi r = \frac{2V}{r^2}$，即 $2\pi r^3 = V$。解得 $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$。
步骤 5：计算高与底面半径的比值
将步骤 4 中得到的 $r$ 代入步骤 2 中的高公式 $h = \frac{V}{\pi r^2}$，得到 $h = \frac{V}{\pi (\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}})^2} = \frac{V}{\pi \cdot \frac{V^{2/3}}{(2\pi)^{2/3}}} = \frac{V^{1/3}}{\pi^{1/3}} \cdot 2^{2/3} = 2r$。因此，高与底面半径的比值为 $\frac{h}{r} = 2$。
圆柱体的体积公式为 $V = \pi r^2 h$，其中 $r$ 是底面半径，$h$ 是高。圆柱体的表面积公式为 $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$，其中 $2\pi r^2$ 是两个底面的面积，$2\pi rh$ 是侧面的面积。
步骤 2：用体积公式表示高
由于题目中给出圆柱体的体积为 $V$，我们可以用体积公式表示高 $h$，即 $h = \frac{V}{\pi r^2}$。
步骤 3：将高代入表面积公式
将步骤 2 中得到的高 $h$ 代入表面积公式 $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$，得到 $S = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{V}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$。
步骤 4：求导数并找到极值
为了找到用料最省的条件，我们需要对表面积 $S$ 关于 $r$ 求导数，并找到导数为零的点。$S' = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}$。令 $S' = 0$，得到 $4\pi r = \frac{2V}{r^2}$，即 $2\pi r^3 = V$。解得 $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$。
步骤 5：计算高与底面半径的比值
将步骤 4 中得到的 $r$ 代入步骤 2 中的高公式 $h = \frac{V}{\pi r^2}$，得到 $h = \frac{V}{\pi (\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}})^2} = \frac{V}{\pi \cdot \frac{V^{2/3}}{(2\pi)^{2/3}}} = \frac{V^{1/3}}{\pi^{1/3}} \cdot 2^{2/3} = 2r$。因此，高与底面半径的比值为 $\frac{h}{r} = 2$。