设随机变量 X 的密度函数为 varphi(x)，且已知 varphi(-x)= varphi(x)，F(x) 为 X 的分布函数，则对任意实数 a，有（）。A. F(-a)= (1)/(2) - int_(0)^a varphi(x), dxB. F(-a)= 1 - int_(0)^a varphi(x), dxC. F(-a)= F(a)D. F(-a)= 2F(a)- 1

考查要点：本题主要考查偶密度函数的对称性及其分布函数的关系，需要结合积分变换和对称性进行推导。

解题核心思路：

1. 利用偶函数的对称性，通过变量替换将$F(-a)$转化为与$F(a)$相关的表达式。
2. 拆分分布函数$F(a)$，结合偶函数的积分特性，将$F(a)$表示为$\frac{1}{2} + \int_{0}^{a} \varphi(x) \, dx$。
3. 代入关系式，最终得到$F(-a)$的表达式。

破题关键点：

• 偶函数的积分对称性：$\int_{-\infty}^{0} \varphi(t) \, dt = \frac{1}{2}$。
• 变量替换技巧：通过$u = -t$将$F(-a)$转换为尾部积分。

步骤1：计算$F(-a)$的表达式

根据分布函数定义：
$F(-a) = \int_{-\infty}^{-a} \varphi(t) \, dt.$
令$u = -t$，则当$t$从$-\infty$到$-a$时，$u$从$+\infty$到$a$，且$dt = -du$。代入得：
$F(-a) = \int_{+\infty}^{a} \varphi(-u) \cdot (-du) = \int_{a}^{+\infty} \varphi(u) \, du.$
由于$\varphi(u)$是密度函数，$\int_{a}^{+\infty} \varphi(u) \, du = 1 - F(a)$，因此：
$F(-a) = 1 - F(a).$

步骤2：拆分$F(a)$的表达式

将$F(a)$拆分为两部分：
$F(a) = \int_{-\infty}^{a} \varphi(t) \, dt = \int_{-\infty}^{0} \varphi(t) \, dt + \int_{0}^{a} \varphi(t) \, dt.$
由于$\varphi(t)$是偶函数，$\int_{-\infty}^{0} \varphi(t) \, dt = \frac{1}{2}$（对称性），因此：
$F(a) = \frac{1}{2} + \int_{0}^{a} \varphi(t) \, dt.$

步骤3：代入关系式

将$F(a)$代入$F(-a) = 1 - F(a)$：
$F(-a) = 1 - \left( \frac{1}{2} + \int_{0}^{a} \varphi(t) \, dt \right) = \frac{1}{2} - \int_{0}^{a} \varphi(t) \, dt.$

结论：正确答案为A。