若函数 y=f(x) 是随机变量 X 的概率密度函数，则一定有（）.A. f(x) 的定义域为 [0,1]B. f(x) 的值域为 [0,1]C. f(x) geqslant 0D. f(x) 在 (-infty,+infty) 上连续

概率密度函数的核心性质包括：

1. 非负性：对所有$x$，有$f(x) \geq 0$；
2. 归一性：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$。

关键辨析：

• 定义域应为$(-\infty, +\infty)$，而非固定区间；
• 值域可能超过$[0,1]$，例如在极小区间上密度值可很大；
• 概率密度函数不一定连续，允许有限个间断点。

选项分析

A. 定义域为$[0,1]$

• 错误。概率密度函数的定义域是全体实数$(-\infty, +\infty)$，例如正态分布定义域为无限区间。

B. 值域为$[0,1]$

• 错误。密度函数的值可以超过$1$，例如均匀分布$U(0,1)$的密度函数$f(x)=1$，但若区间缩小到$[0,0.5]$，密度函数需为$2$以保证积分仍为$1$。

C. $f(x) \geq 0$

• 正确。根据非负性，密度函数必须非负。

D. 在$(-\infty, +\infty)$上连续

• 错误。密度函数允许存在有限个间断点，例如分段定义的密度函数仍可有效描述随机变量。