题目
8.求向量组 alpha_(1)=(1,-1,5,-1)^T, alpha_(2)=(1,1,-2,3)^T, alpha_(3)=(3,-1,8,1)^T, alpha_(4)=(1,3,-9,7)^T 的秩和最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.
8.求向量组 $\alpha_{1}=(1,-1,5,-1)^{T}, \alpha_{2}=(1,1,-2,3)^{T}, \alpha_{3}=(3,-1,8,1)^{T},$ $\alpha_{4}=(1,3,-9,7)^{T}$ 的秩和最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.
题目解答
答案
将向量组构成矩阵 $A$，进行行初等变换化为行最简形：
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & 1 \\
-1 & 1 & -1 & 3 \\
5 & -2 & 8 & -9 \\
-1 & 3 & 1 & 7
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
由行最简形知，矩阵秩为2，最大无关组为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$。非主元列向量可表示为：
\[
\alpha_3 = 2\alpha_1 + \alpha_2, \quad \alpha_4 = -\alpha_1 + 2\alpha_2
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{秩：} & 2 \\
\text{最大无关组：} & \alpha_1, \alpha_2 \\
\text{线性表示：} & \alpha_3 = 2\alpha_1 + \alpha_2, \quad \alpha_4 = -\alpha_1 + 2\alpha_2
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：构造矩阵
构造矩阵 $A$，其列向量为给定的向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$。
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 3 \\ 5 & -2 & 8 & -9 \\ -1 & 3 & 1 & 7 \end{pmatrix} \]
步骤 2：行初等变换
对矩阵 $A$ 进行行初等变换，化为行最简形。
\[ A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 3：确定秩和最大无关组
由行最简形知，矩阵秩为2，最大无关组为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$。
步骤 4：线性表示
非主元列向量可表示为：
\[ \alpha_3 = 2\alpha_1 + \alpha_2, \quad \alpha_4 = -\alpha_1 + 2\alpha_2 \]
构造矩阵 $A$，其列向量为给定的向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$。
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 3 \\ 5 & -2 & 8 & -9 \\ -1 & 3 & 1 & 7 \end{pmatrix} \]
步骤 2：行初等变换
对矩阵 $A$ 进行行初等变换，化为行最简形。
\[ A \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 3：确定秩和最大无关组
由行最简形知，矩阵秩为2，最大无关组为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$。
步骤 4：线性表示
非主元列向量可表示为：
\[ \alpha_3 = 2\alpha_1 + \alpha_2, \quad \alpha_4 = -\alpha_1 + 2\alpha_2 \]