题目
12.设A，B为三阶方阵，且满足 2A^-1B=B-4E，其中E为三阶单位阵，B=(}1&-2&01&2&00&0&2)，求矩阵A.
12.设A，B为三阶方阵，且满足$ 2A^{-1}B=B-4E$，其中E为三阶单位阵，$B=\left(\begin{matrix}1&-2&0\\1&2&0\\0&0&2\end{matrix}\right)$，求矩阵A.
题目解答
答案
由题意，$2A^{-1}B = B - 4E$，两边左乘 $A$ 得 $2B = A(B - 4E)$。
解得 $A = 2B(B - 4E)^{-1}$。
计算 $B - 4E$：
\[
B - 4E = \begin{pmatrix} -3 & -2 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}
\]
求 $(B - 4E)^{-1}$：
\[
(B - 4E)^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ -\frac{1}{8} & -\frac{3}{8} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}
\]
计算 $A$：
\[
A = 2B(B - 4E)^{-1} = \boxed{\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}}
\]
解析
本题考查矩阵的运算以及逆矩阵的求解。解题思路是先对已知等式进行变形，然后通过矩阵运算求出矩阵$A$的表达式，最后代入具体矩阵进行计算。
- 对等式$2A^{-1}B = B - 4E$两边左乘$A$，得到$2B = A(B - 4E)$。
- 求解矩阵$A$，将等式变形为$A = 2B(B - 4E)^{-1}$。
- 计算$B - 4E$：
$B - 4E = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} - 4\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 4 & -2 - 0 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 2 - 4 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 2 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -2 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ - 求$(B - 4E)^{-1}$：
设\(M = B - 4E = \begin{pmatrix} -3 & -2 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}\)，通过伴随矩阵法求逆矩阵。
先求$M$的伴随矩阵$M^*$：
$M^* = \begin{pmatrix} (-2)\times(-2) - 0\times0 & (-3)\times(-2) - 1\times0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & (-3)\times(-2) - 1\times(-2) & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & (-3)\times(-2) - 1\times(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -6 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$
再求$\vert M\vert = (-3)\times(-2)\times(-2) = -24$。
则\((B - 4E)^{-1} = \frac{1}{\vert M\vert}M^* = \begin{pmatrix} -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ -\frac{1}{8} & -\frac{3}{8} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\)。 - 计算$A$：
$A = 2B(B - 4E)^{-1} = 2\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ -\frac{1}{8} & -\frac{3}{8} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$