【356】(2024·新高考全国二·11·) (多选题)设函数f(x)=2x^3-3ax^2+1，则( )。A. 当a>1时，f(x)有三个零点B. 当aC. 存在a,b,使得x=b为曲线f(x)的对称轴D. 存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心

考查要点：本题主要考查三次函数的图像性质，包括零点分布、极值点判断、对称性分析等。
解题思路：

1. 导数分析：通过求导确定函数的单调区间和极值点，结合极值点的函数值判断零点个数；
2. 极值点性质：根据导数符号变化判断极大值或极小值；
3. 对称性：三次函数存在对称中心，但无对称轴，需验证对称中心的坐标条件。

破题关键：

• 选项A：通过极值点的函数值符号判断零点个数；
• 选项B：注意$a<0$时极值点的位置变化；
• 选项C：明确三次函数无对称轴；
• 选项D：利用三次函数对称中心的公式验证坐标条件。

选项A

分析：当$a>1$时，导数$f'(x)=6x(x-a)$，函数在$(-\infty,0)$递增，在$(0,a)$递减，在$(a,+\infty)$递增。

• 极大值：$f(0)=1$；
• 极小值：$f(a)=2a^3-3a^3+1=1-a^3$，当$a>1$时，$f(a)<0$。
  结论：极大值正、极小值负，函数图像必穿过$x$轴三次，故A正确。

选项B

分析：当$a<0$时，导数零点为$x=0$和$x=a$（负数）。

• 函数在$(-\infty,a)$递增，在$(a,0)$递减，在$(0,+\infty)$递增。
• $x=0$处导数由负变正，为极小值点，故B错误。

选项C

分析：三次函数不存在对称轴，仅存在对称中心，故C错误。

选项D

分析：三次函数$f(x)=2x^3-3ax^2+1$的对称中心横坐标为$x=\frac{a}{2}$。

• 若对称中心为$(1,f(1))$，则$\frac{a}{2}=1 \Rightarrow a=2$。
• 此时$f(1)=2(1)^3-3(2)(1)^2+1=2-6+1=-3$，对称中心为$(1,-3)$，符合条件，故D正确。