题目
12.（判断题，3.0分）4阶群一定是循环群（）。A. 对B. 错
12.（判断题，3.0分）4阶群一定是循环群（）。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：定义循环群
循环群是指一个群中存在一个元素，使得该群中的所有元素都可以表示为该元素的幂次。换句话说，如果一个群G可以由一个元素g生成，即G = {g^0, g^1, g^2, ..., g^(n-1)}，其中n是群的阶数，那么G就是一个循环群。
步骤 2：考虑4阶群的结构
4阶群的阶数为4，即群中包含4个元素。根据群论的基本定理，4阶群可以是循环群，也可以是非循环群。循环群的例子是Z_4，即模4的加法群，而非循环群的例子是Klein四元群，即{e, a, b, c}，其中e是单位元，a, b, c满足a^2 = b^2 = c^2 = e，ab = c, bc = a, ca = b。
步骤 3：判断4阶群是否一定是循环群
由于存在非循环的4阶群，如Klein四元群，因此4阶群不一定是循环群。
循环群是指一个群中存在一个元素，使得该群中的所有元素都可以表示为该元素的幂次。换句话说，如果一个群G可以由一个元素g生成，即G = {g^0, g^1, g^2, ..., g^(n-1)}，其中n是群的阶数，那么G就是一个循环群。
步骤 2：考虑4阶群的结构
4阶群的阶数为4，即群中包含4个元素。根据群论的基本定理，4阶群可以是循环群，也可以是非循环群。循环群的例子是Z_4，即模4的加法群，而非循环群的例子是Klein四元群，即{e, a, b, c}，其中e是单位元，a, b, c满足a^2 = b^2 = c^2 = e，ab = c, bc = a, ca = b。
步骤 3：判断4阶群是否一定是循环群
由于存在非循环的4阶群，如Klein四元群，因此4阶群不一定是循环群。