题目

21.计算三重积分JJJ zdxdydz,其中Ω是由曲面 =(x)^2+(y)^2 与平面 z=4 所围成的闭区-|||-域.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查三重积分的计算，特别是利用柱坐标系处理具有旋转对称性的积分区域的能力。

解题核心思路：

  1. 确定积分区域：由抛物面$z = x^2 + y^2$和平面$z=4$围成的闭区域，其交线为圆$x^2 + y^2 = 4$（$z=4$时）。
  2. 选择坐标系：利用柱坐标系（$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z$），将积分转换为柱坐标形式，简化计算。
  3. 积分顺序优化：通过分析对称性，选择先计算$x$-$y$平面投影面积，再对$z$积分的策略，进一步简化运算。

破题关键点：

  • 柱坐标系的转换：将积分区域用$r$、$\theta$、$z$表示，体积元素变为$r \, dz \, dr \, d\theta$。
  • 积分限的确定：$z$从抛物面$z = r^2$到平面$z=4$，$r$从$0$到$2$，$\theta$从$0$到$2\pi$。
  • 面积投影法：对每个高度$z$，积分区域在$x$-$y$平面上是半径为$\sqrt{z}$的圆，面积为$\pi z$，从而将三重积分转化为单积分。

方法一：柱坐标系直接积分

  1. 坐标系转换：
    在柱坐标系中，积分函数$z$保持不变，体积元素为$r \, dz \, dr \, d\theta$。
    积分区域为：

    • $\theta \in [0, 2\pi]$，
    • $r \in [0, 2]$（当$z=4$时，$r = \sqrt{4} = 2$），
    • $z \in [r^2, 4]$（从抛物面到平面）。

  2. 积分表达式：
    $\iiint_{\Omega} z \, dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{r^2}^{4} z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta$

  3. 分步计算：

    • 对$z$积分：
      $\int_{r^2}^{4} z \, dz = \frac{1}{2} \left(4^2 - (r^2)^2\right) = \frac{1}{2}(16 - r^4)$
    • 对$r$积分：
      $\int_{0}^{2} \frac{1}{2}(16 - r^4) \cdot r \, dr = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} (16r - r^5) \, dr = \frac{1}{2} \left[8r^2 - \frac{r^6}{6}\right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \left(32 - \frac{64}{6}\right) = \frac{32}{3}$
    • 对$\theta$积分：
      $\int_{0}^{2\pi} \frac{32}{3} \, d\theta = \frac{32}{3} \cdot 2\pi = \frac{64}{3}\pi$

方法二：投影面积法

  1. 分解积分：
    对每个高度$z$，积分区域在$x$-$y$平面上是半径为$\sqrt{z}$的圆，面积为$\pi z$。
    积分表达式为：
    $\int_{0}^{4} z \cdot \pi z \, dz = \pi \int_{0}^{4} z^2 \, dz$

  2. 计算单积分：
    $\pi \left[\frac{z^3}{3}\right]_{0}^{4} = \pi \cdot \frac{64}{3} = \frac{64}{3}\pi$