题目
若矩阵满足，证明的特征值只能是2。
若矩阵
满足
，证明的特征值只能是2。
题目解答
答案
本题考察求矩阵特征值的相关知识。
证明：
设A的任意特征值为
，则根据特征值的定义，为方程组
的解。
下面求解：
∵
∴
∴
∴
∴
∴
，且只能是2
∴的特征值只能是2
解析
步骤 1：特征值的定义
特征值的定义是，对于矩阵$A$，如果存在非零向量$x$，使得$Ax=\lambda x$，则$\lambda$是矩阵$A$的特征值，$x$是对应的特征向量。
步骤 2：利用已知条件
已知矩阵$A$满足${A}^{2}-4A+4E=0$，其中$E$是单位矩阵。我们可以通过这个条件来推导出矩阵$A$的特征值。
步骤 3：代入特征值的定义
假设$\lambda$是矩阵$A$的特征值，那么存在非零向量$x$，使得$Ax=\lambda x$。将这个关系代入已知条件${A}^{2}-4A+4E=0$中，得到$(A^2-4A+4E)x=0$。
步骤 4：简化方程
将$Ax=\lambda x$代入$(A^2-4A+4E)x=0$，得到$(\lambda^2-4\lambda+4)x=0$。因为$x$是非零向量，所以$\lambda^2-4\lambda+4=0$。
步骤 5：求解特征值
解方程$\lambda^2-4\lambda+4=0$，得到$(\lambda-2)^2=0$，因此$\lambda=2$。这意味着矩阵$A$的特征值只能是2。
特征值的定义是，对于矩阵$A$，如果存在非零向量$x$，使得$Ax=\lambda x$，则$\lambda$是矩阵$A$的特征值，$x$是对应的特征向量。
步骤 2：利用已知条件
已知矩阵$A$满足${A}^{2}-4A+4E=0$，其中$E$是单位矩阵。我们可以通过这个条件来推导出矩阵$A$的特征值。
步骤 3：代入特征值的定义
假设$\lambda$是矩阵$A$的特征值，那么存在非零向量$x$，使得$Ax=\lambda x$。将这个关系代入已知条件${A}^{2}-4A+4E=0$中，得到$(A^2-4A+4E)x=0$。
步骤 4：简化方程
将$Ax=\lambda x$代入$(A^2-4A+4E)x=0$，得到$(\lambda^2-4\lambda+4)x=0$。因为$x$是非零向量，所以$\lambda^2-4\lambda+4=0$。
步骤 5：求解特征值
解方程$\lambda^2-4\lambda+4=0$，得到$(\lambda-2)^2=0$，因此$\lambda=2$。这意味着矩阵$A$的特征值只能是2。