题目
函数 z = xy 在点 P(1,0)处沿从点 P(1,0)到点 Q(2,-2)的方向的方向导数为 ()A. (1)/(sqrt(5)) B. -(2)/(sqrt(5)) C. -2D. (4)/(sqrt(5))
函数 $z = xy $在点 $P(1,0)$处沿从点 $P(1,0)$到点 $Q(2,-2)$的方向的方向导数为 ()
A. $$ $\frac{1}{\sqrt{5}}$ $$
B. $$ $-\frac{2}{\sqrt{5}}$ $$
C. -2
D. $$ $\frac{4}{\sqrt{5}}$ $$
题目解答
答案
B. $$ $-\frac{2}{\sqrt{5}}$ $$
解析
步骤 1：计算方向向量
从点 $P(1,0)$ 到点 $Q(2,-2)$ 的方向向量为 $\vec{PQ} = (2-1, -2-0) = (1, -2)$。
步骤 2：计算单位方向向量
单位方向向量 $\vec{u} = \frac{\vec{PQ}}{|\vec{PQ}|} = \frac{(1, -2)}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{(1, -2)}{\sqrt{5}} = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$。
步骤 3：计算函数 $z = xy$ 在点 $P(1,0)$ 处的梯度
函数 $z = xy$ 的梯度为 $\nabla z = (y, x)$，在点 $P(1,0)$ 处的梯度为 $\nabla z|_{(1,0)} = (0, 1)$。
步骤 4：计算方向导数
方向导数为 $\nabla z|_{(1,0)} \cdot \vec{u} = (0, 1) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + 1 \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = -\frac{2}{\sqrt{5}}$。
从点 $P(1,0)$ 到点 $Q(2,-2)$ 的方向向量为 $\vec{PQ} = (2-1, -2-0) = (1, -2)$。
步骤 2：计算单位方向向量
单位方向向量 $\vec{u} = \frac{\vec{PQ}}{|\vec{PQ}|} = \frac{(1, -2)}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{(1, -2)}{\sqrt{5}} = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$。
步骤 3：计算函数 $z = xy$ 在点 $P(1,0)$ 处的梯度
函数 $z = xy$ 的梯度为 $\nabla z = (y, x)$，在点 $P(1,0)$ 处的梯度为 $\nabla z|_{(1,0)} = (0, 1)$。
步骤 4：计算方向导数
方向导数为 $\nabla z|_{(1,0)} \cdot \vec{u} = (0, 1) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + 1 \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = -\frac{2}{\sqrt{5}}$。