单选题（共10题，55.0分） 3.（5.0分） 实 二 次 型 f(x_(1),x_(2),x_(3))=x_(1)^2+x_(2)^2+2x_(3)^2+2x_(2)x_(3)是（）的. A. 以上都不对 B. 正定 C. 不定 D. 负定

为了确定二次型 $ f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_2 x_3 $ 的性质，我们需要分析其对应的对称矩阵。二次型可以表示为矩阵形式 $ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} $，其中 $ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} $ 且 $ A $ 是对称矩阵。 首先，我们找到矩阵 $ A $。二次型 $ f(x_1, x_2, x_3) $ 可以写为： \[ f(x_1, x_2, x_3) = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}. \] 因此，矩阵 $ A $ 是： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}. \] 为了确定二次型的性质，我们需要检查矩阵 $ A $ 的所有顺序主子式。一个对称矩阵是正定的当且仅当所有其顺序主子式都是正的。 矩阵 $ A $ 的顺序主子式为： 1. 第一个顺序主子式是 $ A $ 的左上角 $ 1 \times 1 $ 子矩阵的行列式： \[ \Delta_1 = \det \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} = 1. \] 2. 第二个顺序主子式是 $ A $ 的左上角 $ 2 \times 2 $ 子矩阵的行列式： \[ \Delta_2 = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1. \] 3. 第三个顺序主子式是 $ A $ 的行列式： \[ \Delta_3 = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - 0 \cdot (0 \cdot 2 - 0 \cdot 1) + 0 \cdot (0 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = 1 \cdot 1 = 1. \] 由于所有顺序主子式 $ \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3 $ 都是正的，矩阵 $ A $ 是正定的。因此，二次型 $ f(x_1, x_2, x_3) $ 是正定的。 答案是：$\boxed{B}$。