设 A 和 B 是两个随机事件，下列哪些关系成立？A. A cap S = A，其中 S 是样本空间B. A cup emptyset = AC. A cup A = emptysetD. A cup S = S，其中 S 是样本空间E. A cap emptyset = emptyset

本题主要考查随机事件的基本运算规则，包括事件的交、并运算以及样本空间 $S$ 和空集 $\emptyset$ 在运算中的性质。下面我们对每个选项逐一进行分析：

• 选项A：$A \cap S = A$，其中 $S$ 是样本空间
  • 样本空间 $S$ 包含了所有可能的结果，而随机事件 $A$ 是样本空间 $S$ 的一个子集。
  • 事件 $A$ 与样本空间 $S$ 的交集，即同时属于 $A$ 和 $S$ 的元素组成的集合。由于 $A$ 中的所有元素都在 $S$ 中，所以 $A \cap S$ 就是 $A$ 本身，即 $A \cap S = A$，该选项成立。
• 选项B：$A \cup \emptyset = A$
  • 空集 $\emptyset$ 不包含任何元素。
  • 事件 $A$ 与空集 $\emptyset$ 的并集，是由属于 $A$ 或者属于 $\emptyset$ 的所有元素组成的集合。因为 $\emptyset$ 没有元素，所以 $A \cup \emptyset$ 就等于 $A$，即 $A \cup \emptyset = A$，该选项成立。
• 选项C：$A \cup A = \emptyset$
  • 事件 $A$ 与自身的并集，是由属于 $A$ 或者属于 $A$ 的所有元素组成的集合，显然还是 $A$ 本身，即 $A \cup A = A$，而不是空集 $\emptyset$，该选项不成立。
• 选项D：$A \cup S = S$，其中 $S$ 是样本空间
  • 因为 $A$ 是样本空间 $S$ 的子集，所以 $A$ 中的所有元素都在 $S$ 中。
  • 事件 $A$ 与样本空间 $S$ 的并集，是由属于 $A$ 或者属于 $S$ 的所有元素组成的集合。由于 $S$ 已经包含了 $A$ 的所有元素，所以 $A \cup S$ 就等于 $S$，即 $A \cup S = S$，该选项成立。
• 选项E：$A \cap \emptyset = \emptyset$
  • 空集 $\emptyset$ 不包含任何元素。
  • 事件 $A$ 与空集 $\emptyset$ 的交集，是由同时属于 $A$ 和 $\emptyset$ 的元素组成的集合。因为 $\emptyset$ 没有元素，所以不存在同时属于 $A$ 和 $\emptyset$ 的元素，即 $A \cap \emptyset = \emptyset$，该选项成立。