题目
设连续型随机变量X的密度函数为 f(x)=} kx, & 0leq x < 3 2-(x)/(2), & 3leq x leq 4 0, & (其它) .
设连续型随机变量$X$的密度函数为 $f(x)=\begin{cases} kx, & 0\leq x < 3 \\ 2-\frac{x}{2}, & 3\leq x \leq 4 \\ 0, & \text{其它} \end{cases}$
(1) 确定$k$的值；(2) 求$X$的分布函数；(3) 求概率 $P\{1 < X \leq 7/2\}$.
题目解答
答案
(1) 由密度函数性质 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$，得 $k = \frac{1}{6}$。
(2) 分布函数 $F(x)$ 为：
$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{x^2}{12}, & 0 \leq x < 3 \\ -\frac{x^2}{4} + 2x - 3, & 3 \leq x < 4 \\ 1, & x \geq 4 \end{cases}$
(3) 概率 $P\{1 < X \leq \frac{7}{2}\} = F\left(\frac{7}{2}\right) - F(1) = \frac{15}{16} - \frac{1}{12} = \frac{41}{48}$。
答案：
(1) $k = \frac{1}{6}$
(2) 见分布函数表达式
(3) $\boxed{\frac{41}{48}}$