题目
(习题3) (A) 6.问：a为何值时，向量组alpha_(1)=(1,2,3)^Talpha_(2)=(3,-1,2)^Talpha_(3)=(2,3,a)^T线性相关?并将α_(3)用α_(1)α_(2)线性表示.
(习题3) (A) 6.问：a为何值时，向量组
$\alpha_{1}=(1,2,3)^{T}\alpha_{2}=(3,-1,2)^{T}\alpha_{3}=(2,3,a)^{T}$
线性相关?并将$α_{3}$用$α_{1}α_{2}$线性表示.
题目解答
答案
计算向量组构成的矩阵行列式：
\[
\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & a \end{vmatrix} = 7(5 - a)
\]
令行列式为零求得 $a = 5$。
当 $a = 5$ 时，解方程组：
\[
\begin{cases} x + 3y = 2 \\ 2x - y = 3 \\ 3x + 2y = 5 \end{cases}
\]
解得 $x = \frac{11}{7}$，$y = \frac{1}{7}$。
因此，$\alpha_3$ 可表示为：
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
a = 5 \\
\alpha_3 = \frac{11}{7} \alpha_1 + \frac{1}{7} \alpha_2
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：计算向量组构成的矩阵行列式
向量组 $\alpha_{1}=(1,2,3)^{T}$，$\alpha_{2}=(3,-1,2)^{T}$，$\alpha_{3}=(2,3,a)^{T}$ 构成的矩阵为：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & a \end{pmatrix} \]
计算矩阵 $A$ 的行列式：
\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & a \end{vmatrix} \]
步骤 2：展开行列式
根据行列式的展开法则，我们有：
\[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & a \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & a \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} \]
\[ = 1 \cdot (-a - 6) - 3 \cdot (2a - 9) + 2 \cdot (4 + 3) \]
\[ = -a - 6 - 6a + 27 + 14 \]
\[ = -7a + 35 \]
步骤 3：求解行列式为零的条件
令行列式为零，求得 $a$ 的值：
\[ -7a + 35 = 0 \]
\[ a = 5 \]
步骤 4：解方程组
当 $a = 5$ 时，解方程组：
\[ \begin{cases} x + 3y = 2 \\ 2x - y = 3 \\ 3x + 2y = 5 \end{cases} \]
解得 $x = \frac{11}{7}$，$y = \frac{1}{7}$。
步骤 5：表示 $\alpha_3$
因此，$\alpha_3$ 可表示为：
\[ \alpha_3 = \frac{11}{7} \alpha_1 + \frac{1}{7} \alpha_2 \]
向量组 $\alpha_{1}=(1,2,3)^{T}$，$\alpha_{2}=(3,-1,2)^{T}$，$\alpha_{3}=(2,3,a)^{T}$ 构成的矩阵为：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & a \end{pmatrix} \]
计算矩阵 $A$ 的行列式：
\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & a \end{vmatrix} \]
步骤 2：展开行列式
根据行列式的展开法则，我们有：
\[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & a \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & a \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} \]
\[ = 1 \cdot (-a - 6) - 3 \cdot (2a - 9) + 2 \cdot (4 + 3) \]
\[ = -a - 6 - 6a + 27 + 14 \]
\[ = -7a + 35 \]
步骤 3：求解行列式为零的条件
令行列式为零，求得 $a$ 的值：
\[ -7a + 35 = 0 \]
\[ a = 5 \]
步骤 4：解方程组
当 $a = 5$ 时，解方程组：
\[ \begin{cases} x + 3y = 2 \\ 2x - y = 3 \\ 3x + 2y = 5 \end{cases} \]
解得 $x = \frac{11}{7}$，$y = \frac{1}{7}$。
步骤 5：表示 $\alpha_3$
因此，$\alpha_3$ 可表示为：
\[ \alpha_3 = \frac{11}{7} \alpha_1 + \frac{1}{7} \alpha_2 \]