题目
1-18 一质点沿x轴运动,其加速度a与位置坐标x的关系为 =2+6(x)^2, 式中a的-|||-cdot (s)^-2, x的单位为m.如果质点在原点处的速度为零,试求其在任意位置处的速度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定加速度与速度的关系
加速度 $a$ 是速度 $v$ 对时间 $t$ 的导数，即 $a = \frac{dv}{dt}$。同时，速度 $v$ 是位置 $x$ 对时间 $t$ 的导数，即 $v = \frac{dx}{dt}$。因此，加速度也可以表示为 $a = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$。
步骤 2：建立速度与位置的关系
根据题目给出的加速度与位置的关系 $a = 2 + 6x^2$，代入 $a = v \frac{dv}{dx}$，得到 $v \frac{dv}{dx} = 2 + 6x^2$。这是一个关于 $v$ 和 $x$ 的微分方程，可以通过分离变量法求解。
步骤 3：求解微分方程
将微分方程 $v \frac{dv}{dx} = 2 + 6x^2$ 分离变量，得到 $v dv = (2 + 6x^2) dx$。对两边积分，得到 $\int v dv = \int (2 + 6x^2) dx$。积分后得到 $\frac{1}{2}v^2 = 2x + 2x^3 + C$，其中 $C$ 是积分常数。由于题目条件指出质点在原点处的速度为零，即 $v(0) = 0$，代入上式得到 $C = 0$。因此，$\frac{1}{2}v^2 = 2x + 2x^3$。
步骤 4：求解速度 $v$
从 $\frac{1}{2}v^2 = 2x + 2x^3$ 解出 $v$，得到 $v^2 = 4x + 4x^3$，即 $v = \sqrt{4x + 4x^3} = 2\sqrt{x + x^3}$。
加速度 $a$ 是速度 $v$ 对时间 $t$ 的导数，即 $a = \frac{dv}{dt}$。同时，速度 $v$ 是位置 $x$ 对时间 $t$ 的导数，即 $v = \frac{dx}{dt}$。因此，加速度也可以表示为 $a = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$。
步骤 2：建立速度与位置的关系
根据题目给出的加速度与位置的关系 $a = 2 + 6x^2$，代入 $a = v \frac{dv}{dx}$，得到 $v \frac{dv}{dx} = 2 + 6x^2$。这是一个关于 $v$ 和 $x$ 的微分方程，可以通过分离变量法求解。
步骤 3：求解微分方程
将微分方程 $v \frac{dv}{dx} = 2 + 6x^2$ 分离变量，得到 $v dv = (2 + 6x^2) dx$。对两边积分，得到 $\int v dv = \int (2 + 6x^2) dx$。积分后得到 $\frac{1}{2}v^2 = 2x + 2x^3 + C$，其中 $C$ 是积分常数。由于题目条件指出质点在原点处的速度为零，即 $v(0) = 0$，代入上式得到 $C = 0$。因此，$\frac{1}{2}v^2 = 2x + 2x^3$。
步骤 4：求解速度 $v$
从 $\frac{1}{2}v^2 = 2x + 2x^3$ 解出 $v$，得到 $v^2 = 4x + 4x^3$，即 $v = \sqrt{4x + 4x^3} = 2\sqrt{x + x^3}$。