[拓展题1]设f (x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0 (1)=1. 证明:-|||-(1)存在 in (0,1), 使得 (C)=1-C;-|||-(2)存在不同的两点ξ, in (0,1), 使得 '(xi )cdot f'(n)=1.

考查要点：
本题综合考查连续函数的零点定理和拉格朗日中值定理的应用，需要结合函数构造和导数性质进行推导。

解题核心思路：

1. 第一问：通过构造辅助函数$F(x) = f(x) + x - 1$，利用零点定理证明存在点$c$使得$f(c) = 1 - c$。
2. 第二问：在第一问的基础上，分别在区间$[0, c]$和$[c, 1]$上应用拉格朗日中值定理，得到两个导数表达式，通过代数运算证明乘积为1。

破题关键点：

• 辅助函数的构造是第一问的关键，需通过端点值符号变化保证零点存在。
• 区间分割与中值定理的灵活应用是第二问的核心，需注意导数表达式的关联性。

第（1）题

构造辅助函数：
定义$F(x) = f(x) + x - 1$，则$F(x)$在$[0,1]$上连续。
计算端点值：

• $F(0) = f(0) + 0 - 1 = -1$
• $F(1) = f(1) + 1 - 1 = 1$

应用零点定理：
由于$F(0) < 0$且$F(1) > 0$，根据零点定理，存在$c \in (0,1)$使得$F(c) = 0$，即$f(c) = 1 - c$。

第（2）题

应用拉格朗日中值定理：

1. 在区间$[0, c]$上：

   • $f(x)$连续且可导，故存在$\xi \in (0, c)$，使得
     $f(c) - f(0) = f'(\xi)(c - 0) \implies 1 - c = c f'(\xi) \implies f'(\xi) = \frac{1 - c}{c}.$

2. 在区间$[c, 1]$上：

   • 同理，存在$\eta \in (c, 1)$，使得
     $f(1) - f(c) = f'(\eta)(1 - c) \implies c = (1 - c)f'(\eta) \implies f'(\eta) = \frac{c}{1 - c}.$

导数乘积计算：
$f'(\xi) \cdot f'(\eta) = \frac{1 - c}{c} \cdot \frac{c}{1 - c} = 1.$
由于$\xi \in (0, c)$且$\eta \in (c, 1)$，故$\xi \neq \eta$，且均属于$(0, 1)$。