题目
设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为(1)/(7)，(1)/(5)，(1)/(4)．现从这三个地区任抽取一个人，假设这个人来自三个地区的可能性相同．（1）求此人感染此病的概率；（2）若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．
设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{4}$．现从这三个地区任抽取一个人，假设这个人来自三个地区的可能性相同．
（1）求此人感染此病的概率；
（2）若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．
（1）求此人感染此病的概率；
（2）若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．
题目解答
答案
解：（1）设B表示“此人感染此病”，
A1，A2，A3表示此人选自甲、乙、丙三个地区，
由题意得P（A1）=P（A2）=P（A3）=$\frac{1}{3}$，
P（B|A1）=$\frac{1}{7}$，P（B|A2）=$\frac{1}{5}$，P（B|A3）=$\frac{1}{4}$，
由全概率公式得：
此人感染此病的概率：
P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{7}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{5}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{83}{420}$．
（2）由贝叶斯公式得若此人感染此病，此人选自乙地区的概率为：
P（A2|B）=$\frac{P（{A}_{2}）P（B|{A}_{2}）}{P（B）}$=$\frac{\frac{1}{3}×\frac{1}{5}}{\frac{83}{420}}$=$\frac{28}{83}$．
A1，A2，A3表示此人选自甲、乙、丙三个地区，
由题意得P（A1）=P（A2）=P（A3）=$\frac{1}{3}$，
P（B|A1）=$\frac{1}{7}$，P（B|A2）=$\frac{1}{5}$，P（B|A3）=$\frac{1}{4}$，
由全概率公式得：
此人感染此病的概率：
P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{7}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{5}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{83}{420}$．
（2）由贝叶斯公式得若此人感染此病，此人选自乙地区的概率为：
P（A2|B）=$\frac{P（{A}_{2}）P（B|{A}_{2}）}{P（B）}$=$\frac{\frac{1}{3}×\frac{1}{5}}{\frac{83}{420}}$=$\frac{28}{83}$．
解析
步骤 1：定义事件
设B表示“此人感染此病”，
A_1，A_2，A_3表示此人选自甲、乙、丙三个地区，
由题意得P（A_1）=P（A_2）=P（A_3）=$\frac{1}{3}$，
P（B|A_1）=$\frac{1}{7}$，P（B|A_2）=$\frac{1}{5}$，P（B|A_3）=$\frac{1}{4}$，
步骤 2：应用全概率公式
由全概率公式得：
此人感染此病的概率：
P（B）=P（A_1）P（B|A_1）+P（A_2）P（B|A_2）+P（A_3）P（B|A_3）
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{7}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{5}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{83}{420}$．
步骤 3：应用贝叶斯公式
由贝叶斯公式得若此人感染此病，此人选自乙地区的概率为：
P（A_2|B）=$\frac{P（{A}_{2}）P（B|{A}_{2}）}{P（B）}$=$\frac{\frac{1}{3}×\frac{1}{5}}{\frac{83}{420}}$=$\frac{28}{83}$．
设B表示“此人感染此病”，
A_1，A_2，A_3表示此人选自甲、乙、丙三个地区，
由题意得P（A_1）=P（A_2）=P（A_3）=$\frac{1}{3}$，
P（B|A_1）=$\frac{1}{7}$，P（B|A_2）=$\frac{1}{5}$，P（B|A_3）=$\frac{1}{4}$，
步骤 2：应用全概率公式
由全概率公式得：
此人感染此病的概率：
P（B）=P（A_1）P（B|A_1）+P（A_2）P（B|A_2）+P（A_3）P（B|A_3）
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{7}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{5}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{83}{420}$．
步骤 3：应用贝叶斯公式
由贝叶斯公式得若此人感染此病，此人选自乙地区的概率为：
P（A_2|B）=$\frac{P（{A}_{2}）P（B|{A}_{2}）}{P（B）}$=$\frac{\frac{1}{3}×\frac{1}{5}}{\frac{83}{420}}$=$\frac{28}{83}$．