题目

设在上服从均匀分布，则方程有实根的概率为( )A.B.C.D.

设 $k$ 在 $(0,5)$ 上服从均匀分布，则方程 $x^2+kx+2=0$ 有实根的概率为( )

A. $1-\frac{\sqrt{8}}{5}$

B. $1+\frac{\sqrt{8}}{5}$

C. $\frac{1}{5}$

D. $-\frac{\sqrt{8}}{5}$

题目解答

解：已知 $k$ 在 $(0,5)$ 上服从均匀分布，

则 $k$ 的概率密度函数为： $f\left(k\right)=\frac{1}{5-0}=\frac{1}{5}$ ， $0\le k\le5$ ，

则方程 $x^2+kx+2=0$ 有实根的条件为： $\Delta=k^2-4\times1\times2=k^2-8\ge0$ ，

解得： $k\le-2\sqrt{2}$ ， $k\ge2\sqrt{2}$ ，

所以 $P\left\{k\le-2\sqrt{2}\cup k\ge2\sqrt{2}\right\}=\int_{-\infty}^{-2\sqrt{2}}f\left(k\right)dk+\int_{2\sqrt{2}}^{+\infty}f\left(k\right)dk$

$=0+\int_{2\sqrt{2}}^5\frac{1}{5}dk=\frac{1}{5}k|_{2\sqrt{2}}^5=1-\frac{2\sqrt{2}}{5}=1-\frac{\sqrt{8}}{5}$ .

故答案为：A.