题目

【例9.2.6】求微分方程(y+x^2e^-x)dx-xdy=0的通解.

【例9.2.6】求微分方程$(y+x^{2}e^{-x})dx-xdy=0$的通解.

题目解答

答案

将原方程改写为标准形式：
$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = x e^{-x}$
此为一阶线性微分方程，其中 $P(x) = -\frac{1}{x}$，$Q(x) = x e^{-x}$。
积分因子为：
$\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$
两边乘以积分因子：
$\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x^2} = e^{-x} \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) = e^{-x}$
积分得：
$\frac{y}{x} = -e^{-x} + C \quad \Rightarrow \quad y = x(C - e^{-x})$
答案：
$\boxed{y = x(C - e^{-x})}$

解析

本题考查一阶线性微分方程的求解。解题思路是先将给定的微分方程化为一阶线性微分方程的标准形式，然后确定其中的 $P(x)$ 和 $Q(x)$，接着求出积分因子 $\mu(x)$，再将方程两边同乘以积分因子，将方程转化为全微分形式，最后通过积分求出通解。

  1. 将原方程化为标准形式：
    已知原方程为 $(y + x^{2}e^{-x})dx - xdy = 0$，移项可得 $xdy=(y + x^{2}e^{-x})dx$，两边同时除以 $x dx$（$x\neq0$），得到 $\frac{dy}{dx}=\frac{y + x^{2}e^{-x}}{x}$，进一步整理为 $\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x e^{-x}$，此为一阶线性微分方程的标准形式 $\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x)=-\frac{1}{x}$，$Q(x)=x e^{-x}$。
  2. 求积分因子：
    根据积分因子公式 $\mu(x)=e^{\int P(x)dx}$，将 $P(x)=-\frac{1}{x}$ 代入可得：
    $\mu(x)=e^{\int -\frac{1}{x}dx}$
    根据积分公式 $\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$，则 $\int -\frac{1}{x}dx=-\ln|x|$，所以 $\mu(x)=e^{-\ln x}$。
    根据对数运算法则 $a\ln b=\ln b^a$ 和 $e^{\ln a}=a$，可得 $e^{-\ln x}=e^{\ln x^{-1}}=\frac{1}{x}$。
  3. 将方程两边同乘以积分因子：
    将 $\mu(x)=\frac{1}{x}$ 乘以标准形式方程 $\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x e^{-x}$ 的两边，得到：
    $\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x^{2}}=e^{-x}$
    根据乘积的求导法则 $(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里 $u = \frac{1}{x}$，$v = y$，则 $\frac{d}{dx}(\frac{y}{x})=\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x^{2}}$，所以方程可化为 $\frac{d}{dx}(\frac{y}{x})=e^{-x}$。
  4. 积分求通解：
    对 $\frac{d}{dx}(\frac{y}{x})=e^{-x}$ 两边同时积分，根据积分公式 $\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C$（$a\neq0$），可得：
    $\int\frac{d}{dx}(\frac{y}{x})dx=\int e^{-x}dx$
    即 $\frac{y}{x}=-e^{-x}+C$（$C$ 为任意常数）。
    两边同时乘以 $x$，得到通解 $y = x(C - e^{-x})$。