题目

设 a≥0, 在复数集C中,解方程: ^2+2|z|=a.

题目解答

本题考查复数方程的求解，解题的关键在于根据复数的性质和分类进行讨论。

解法一

判断$z$的类型：
因为$\vert z\vert\in R$，由$z^{2}+2\vert z\vert = a$可得$z^{2}=a - 2\vert z\vert\in R$。根据复数的性质，若一个复数的平方为实数，则这个复数为实数或纯虚数。
当$z\in R$时：
此时$z^{2}+2\vert z\vert = a$，设$z = x$（$x\in R$），则$x^{2}+2\vert x\vert = a$。
令$t=\vert x\vert$（$t\geqslant0$），方程变为$t^{2}+2t - a = 0$。
根据一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0$（$A\neq0$）的求根公式$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}$，对于$t^{2}+2t - a = 0$，其中$A = 1$，$B = 2$，$C = -a$，可得：
$t=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\times1\times(-a)}}{2\times1}=\frac{-2\pm\sqrt{4 + 4a}}{2}=-1\pm\sqrt{1 + a}$。
因为$t=\vert x\vert\geqslant0$，所以$t=-1+\sqrt{1 + a}$（舍去$t=-1-\sqrt{1 + a}$，因为$-1-\sqrt{1 + a}<0$），即$\vert z\vert=-1+\sqrt{1 + a}$，所以$z=\pm(-1+\sqrt{1 + a})$。
当$z$为纯虚数时：
设$z=\pm yi$（$y>0$），则$z^{2}=-y^{2}$，原方程$z^{2}+2\vert z\vert = a$可化为$-y^{2}+2y = a$，即$y^{2}-2y + a = 0$。
同样根据一元二次方程求根公式，对于$y^{2}-2y + a = 0$，其中$A = 1$，$B = -2$，$C = a$，可得：
$y=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\times1\times a}}{2\times1}=\frac{2\pm\sqrt{4 - 4a}}{2}=1\pm\sqrt{1 - a}$。
因为$y>0$，所以$0\leqslant a\leqslant1$，此时$y = 1\pm\sqrt{1 - a}$，则$z=\pm(1\pm\sqrt{1 - a})i$。

解法二

设$z=x + yi$代入方程：
将$z=x + yi$代入$z^{2}+2\vert z\vert = a$，可得$(x + yi)^{2}+2\sqrt{x^{2}+y^{2}} = a$。
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，展开$(x + yi)^{2}$得$x^{2}+2xyi + y^{2}i^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi$，则方程变为$x^{2}-y^{2}+2\sqrt{x^{2}+y^{2}}+2xyi = a$。
根据复数相等的充要条件，实部与实部相等，虚部与虚部相等，可得$\begin{cases}x^{2}-y^{2}+2\sqrt{x^{2}+y^{2}} = a\\2xy = 0\end{cases}$。
当$y = 0$时：
方程$x^{2}-y^{2}+2\sqrt{x^{2}+y^{2}} = a$变为$x^{2}+2\vert x\vert = a$，设$t=\vert x\vert$（$t\geqslant0$），则$t^{2}+2t - a = 0$。
由求根公式可得$t=\frac{-2\pm\sqrt{4 + 4a}}{2}=-1\pm\sqrt{1 + a}$，因为$t\geqslant0$，所以$t=-1+\sqrt{1 + a}$，即$\vert x\vert=-1+\sqrt{1 + a}$，所以$x=\pm(-1+\sqrt{1 + a})$，则$z=\pm(-1+\sqrt{1 + a})$。
当$x = 0$时：
方程$x^{2}-y^{2}+2\sqrt{x^{2}+y^{2}} = a$变为$-y^{2}+2\vert y\vert = a$，设$t=\vert y\vert$（$t\geqslant0$），则$t^{2}-2t + a = 0$。
由求根公式可得$t=\frac{2\pm\sqrt{4 - 4a}}{2}=1\pm\sqrt{1 - a}$，因为$t\geqslant0$，所以$0\leqslant a\leqslant1$，$t = 1\pm\sqrt{1 - a}$，即$\vert y\vert = 1\pm\sqrt{1 - a}$，所以$y=\pm(1\pm\sqrt{1 - a})$，则$z=\pm(1\pm\sqrt{1 - a})i$。