题目
已知向量a,b满足 |overrightarrow (a)|=1, |overrightarrow (b)|=sqrt (3), 且a与b的夹角为 π/6, 则(overrightarrow (a)+overrightarrow (b))cdot (2overrightarrow (a)-overrightarrow (b))=-|||-A.1/2 B. -dfrac (3)(2)-|||-C. -dfrac (1)(2) D.3/2
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算向量a的模的平方
向量a的模为1，因此 $|\overrightarrow {a}|^2 = 1^2 = 1$。
步骤 2：计算向量b的模的平方
向量b的模为 $\sqrt{3}$，因此 $|\overrightarrow {b}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$。
步骤 3：计算向量a与向量b的点积
向量a与向量b的夹角为 $\dfrac {\pi }{6}$，因此 $\overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {b} = |\overrightarrow {a}| \cdot |\overrightarrow {b}| \cdot \cos(\dfrac {\pi }{6}) = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{2}$。
步骤 4：计算 $(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b})\cdot (2\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b})$
$(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b})\cdot (2\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}) = 2\overrightarrow {a}^2 + \overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {b} - \overrightarrow {b}^2 = 2 \cdot 1 + \dfrac{3}{2} - 3 = 2 + \dfrac{3}{2} - 3 = \dfrac{1}{2}$。
向量a的模为1，因此 $|\overrightarrow {a}|^2 = 1^2 = 1$。
步骤 2：计算向量b的模的平方
向量b的模为 $\sqrt{3}$，因此 $|\overrightarrow {b}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$。
步骤 3：计算向量a与向量b的点积
向量a与向量b的夹角为 $\dfrac {\pi }{6}$，因此 $\overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {b} = |\overrightarrow {a}| \cdot |\overrightarrow {b}| \cdot \cos(\dfrac {\pi }{6}) = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{2}$。
步骤 4：计算 $(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b})\cdot (2\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b})$
$(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b})\cdot (2\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}) = 2\overrightarrow {a}^2 + \overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {b} - \overrightarrow {b}^2 = 2 \cdot 1 + \dfrac{3}{2} - 3 = 2 + \dfrac{3}{2} - 3 = \dfrac{1}{2}$。