题目
31. (3.0分) 函数z=2x^2+3y^2有极____值.
31. (3.0分) 函数$z=2x^{2}+3y^{2}$有极____值.
题目解答
答案
为了确定函数 $ z = 2x^2 + 3y^2 $ 是否有极值，我们需要找到函数的临界点，然后分析这些点的性质。
### 步骤1: 找到函数的偏导数
首先，我们计算函数 $ z $ 关于 $ x $ 和 $ y $ 的偏导数。
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x^2 + 3y^2) = 4x
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x^2 + 3y^2) = 6y
\]
### 步骤2: 找到临界点
临界点是偏导数都为零的点。因此，我们解以下方程组：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = 4x = 0
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = 6y = 0
\]
解这个方程组，我们得到 $ x = 0 $ 和 $ y = 0 $。因此，函数的唯一临界点是 $ (0, 0) $。
### 步骤3: 分析临界点的性质
为了确定临界点 $ (0, 0) $ 是极大值、极小值还是 saddle point，我们使用二阶偏导数测试。我们计算二阶偏导数：
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (4x) = 4
\]
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (6y) = 6
\]
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (4x) = 0
\]
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (6y) = 0
\]
我们使用 Hessian 矩阵 $ H $ 来分析临界点的性质，Hessian 矩阵定义为：
\[
H = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
4 & 0 \\
0 & 6
\end{bmatrix}
\]
Hessian 矩阵的行列式 $ \det(H) $ 为：
\[
\det(H) = 4 \cdot 6 - 0 \cdot 0 = 24
\]
由于 $ \det(H) > 0 $ 且 $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} > 0 $（或 $ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} > 0 $），Hessian 矩阵是正定的。因此，函数在临界点 $ (0, 0) $ 处有极小值。
### 步骤4: 求极小值
将 $ (0, 0) $ 代入原函数 $ z = 2x^2 + 3y^2 $：
\[
z(0, 0) = 2 \cdot 0^2 + 3 \cdot 0^2 = 0
\]
### 结论
函数 $ z = 2x^2 + 3y^2 $ 在点 $ (0, 0) $ 处有极小值，极小值为 $ 0 $。
\[
\boxed{\text{极小值}}
\]
解析
步骤 1：找到函数的偏导数
首先，我们计算函数 $ z $ 关于 $ x $ 和 $ y $ 的偏导数。
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x^2 + 3y^2) = 4x \]
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x^2 + 3y^2) = 6y \]
步骤 2：找到临界点
临界点是偏导数都为零的点。因此，我们解以下方程组：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 4x = 0 \]
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 6y = 0 \]
解这个方程组，我们得到 $ x = 0 $ 和 $ y = 0 $。因此，函数的唯一临界点是 $ (0, 0) $。
步骤 3：分析临界点的性质
为了确定临界点 $ (0, 0) $ 是极大值、极小值还是鞍点，我们使用二阶偏导数测试。我们计算二阶偏导数：
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (4x) = 4 \]
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (6y) = 6 \]
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (4x) = 0 \]
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (6y) = 0 \]
我们使用 Hessian 矩阵 $ H $ 来分析临界点的性质，Hessian 矩阵定义为：
\[ H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} \]
Hessian 矩阵的行列式 $ \det(H) $ 为：
\[ \det(H) = 4 \cdot 6 - 0 \cdot 0 = 24 \]
由于 $ \det(H) > 0 $ 且 $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} > 0 $（或 $ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} > 0 $），Hessian 矩阵是正定的。因此，函数在临界点 $ (0, 0) $ 处有极小值。
步骤 4：求极小值
将 $ (0, 0) $ 代入原函数 $ z = 2x^2 + 3y^2 $：
\[ z(0, 0) = 2 \cdot 0^2 + 3 \cdot 0^2 = 0 \]
首先，我们计算函数 $ z $ 关于 $ x $ 和 $ y $ 的偏导数。
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x^2 + 3y^2) = 4x \]
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x^2 + 3y^2) = 6y \]
步骤 2：找到临界点
临界点是偏导数都为零的点。因此，我们解以下方程组：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 4x = 0 \]
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 6y = 0 \]
解这个方程组，我们得到 $ x = 0 $ 和 $ y = 0 $。因此，函数的唯一临界点是 $ (0, 0) $。
步骤 3：分析临界点的性质
为了确定临界点 $ (0, 0) $ 是极大值、极小值还是鞍点，我们使用二阶偏导数测试。我们计算二阶偏导数：
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (4x) = 4 \]
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (6y) = 6 \]
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (4x) = 0 \]
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (6y) = 0 \]
我们使用 Hessian 矩阵 $ H $ 来分析临界点的性质，Hessian 矩阵定义为：
\[ H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} \]
Hessian 矩阵的行列式 $ \det(H) $ 为：
\[ \det(H) = 4 \cdot 6 - 0 \cdot 0 = 24 \]
由于 $ \det(H) > 0 $ 且 $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} > 0 $（或 $ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} > 0 $），Hessian 矩阵是正定的。因此，函数在临界点 $ (0, 0) $ 处有极小值。
步骤 4：求极小值
将 $ (0, 0) $ 代入原函数 $ z = 2x^2 + 3y^2 $：
\[ z(0, 0) = 2 \cdot 0^2 + 3 \cdot 0^2 = 0 \]