2.设随机变量X服从(1，6)上的均匀分布，求方程t^2+Xt+1=0有实根的概率。

考查要点：本题主要考查二次方程有实根的条件以及均匀分布的概率计算。

解题核心思路：

1. 判别式条件：方程 $t^2 + Xt + 1 = 0$ 有实根的条件是判别式 $\Delta = X^2 - 4 \geq 0$，即 $X \geq 2$（因 $X$ 在 $(1,6)$ 内，舍去 $X \leq -2$）。
2. 均匀分布性质：随机变量 $X$ 在 $(1,6)$ 上服从均匀分布，其概率等于满足条件的区间长度占总区间长度的比例。

破题关键点：

• 正确推导出 $X \geq 2$ 的范围。
• 利用均匀分布的概率公式直接计算比例。

步骤1：确定方程有实根的条件
方程 $t^2 + Xt + 1 = 0$ 的判别式为：
$\Delta = X^2 - 4$
当 $\Delta \geq 0$ 时，方程有实根，即：
$X^2 \geq 4 \implies X \geq 2 \ \text{或} \ X \leq -2$
由于 $X$ 的取值范围是 $(1,6)$，故 $X \leq -2$ 不成立，有效条件为 $X \geq 2$。

步骤2：计算概率
随机变量 $X$ 在 $(1,6)$ 上服从均匀分布，概率密度函数为：
$f(x) = \frac{1}{6-1} = \frac{1}{5}$
所求概率为 $X \geq 2$ 的概率：
$P(X \geq 2) = \int_{2}^{6} \frac{1}{5} \, dx = \frac{1}{5} \times (6-2) = \frac{4}{5}$
或直接利用均匀分布的性质：
$P(X \geq 2) = \frac{\text{满足条件的区间长度}}{\text{总区间长度}} = \frac{6-2}{6-1} = \frac{4}{5}$