题目

填空题函数y=4(x+2)^2的单调增加区间是（）。（需写出2个答案，2个答案之间用英文格式的逗号“，”隔开）

填空题 函数$y=4(x+2)^{2}$的单调增加区间是（）。（需写出2个答案，2个答案之间用英文格式的逗号“，”隔开）

题目解答

答案

函数 $ y = 4(x+2)^2 $ 的导数为 $ y' = 8(x+2) $。
令 $ y' > 0 $，解得 $ x > -2 $，即函数在区间 $ (-2, +\infty) $ 内单调增加。
此外，函数在闭区间 $ [-2, +\infty) $ 内 also 单调增加（因导数在 $ x = -2 $ 处为零，但右侧为正）。

答案：
$\boxed{(-2, +\infty), [-2, +\infty)}$
（或任意两个不同正确区间，如 $ (-2, +\infty) $ 和 $ \{ x \mid x > -2 \} $）。

解析

本题考查二次函数单调性的知识，解题思路是先对函数求导，再根据导数与函数单调性的关系求出单调增加区间。

  1. 求函数的导数：
    已知函数$y = 4(x + 2)^2$，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$以及复合函数求导法则$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，对$y = 4(x + 2)^2$求导。
    令$u=x + 2$，则$y = 4u^2$。
    先对$y = 4u^2$关于$u$求导，$y^\prime_{u}=(4u^2)^\prime=4\times2u = 8u$；
    再对$u=x + 2$关于$x$求导，$u^\prime_{x}=(x + 2)^\prime=1$。
    根据复合函数求导法则$y^\prime_{x}=y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}$，可得$y^\prime = 8(x + 2)\times1 = 8(x + 2)$。
  2. 根据导数与函数单调性的关系求单调增加区间：
    根据导数的性质，当函数的导数大于$0$时，函数单调递增。
    令$y^\prime>0$，即$8(x + 2)>0$，两边同时除以$8$，得到$x + 2>0$，解得$x>-2$。
    所以函数$y = 4(x + 2)^2$在区间$(-2, +\infty)$内单调增加。
    同时，对于闭区间的情况，因为函数在$x = -2$处导数为$0$，且在$x=-2$右侧导数为正，所以函数在闭区间$[-2, +\infty)$内也单调增加。